Use frações parciais para achar a integral.
integral 2 x^3-4 x^2-15 x+5x^2-2 x-8 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral 2 x^3-4 x^2-15 x+5x^2-2 x-8,dx
usando frações parciais. O conteúdo envolvido é integração de função racional: primeiro fazemos divisão polinomial (pois o grau do numerador é maior que o do denominador) e depois decomposição em frações parciais antes de integrar cada termo.

Passo 2

Como deg(2x^3-4x^2-15x+5)=3 é maior que deg(x^2-2x-8)=2, fazemos divisão polinomial:
2x^3 -4x^2 -15x +5x^2 -2x -8 =2x + x+5x^2 -2x -8
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integral 2 x^3-4 x^2-15 x+5x^2-2 x-8,dx =integral 2x,dx +integral x+5x^2 -2x -8,dx

Passo 3

Fatoramos o denominador
x^2 -2x -8 = (x-4)(x+2),
e escrevemos
x+5(x-4)(x+2) =Ax-4+Bx+2
Isto implica
x+5 = A(x+2)+B(x-4) = (A+B)x + (2A -4B)
Igualando coeficientes em x e termo constante, vem
A+B=1, 2A-4B=5
Resolvendo, B=-tfrac12 e A=1-B=tfrac32. Assim
x+5x^2 -2x -8 =tfrac32x-4-tfrac12x+2

Passo 4

Agora integramos termo a termo:
integral 2x,dx = x^2,
integral tfrac32x-4,dx = 32 lnlvert x-4rvert,
integral gl(-tfrac12x+2gr),dx = -12 lnlvert x+2rvert
Somando tudo e absorvendo constantes numa única C, obtemos a antiderivada.

Resposta

x^2 ;+;32lnlvert x-4rvert;-;12lnlvert x+2rvert;+;C

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