Calcule a integral
integral cos ^3 2 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
integral cos^3(2x),dx
O conteúdo aqui é integração de potências de cosseno. Para resolver, vamos usar a identidade trigonométrica cos^2theta = 1 - sin^2theta e, em seguida, uma substituição simples.

Passo 2

Usamos a identidade cos^2(2x)=1-sin^2(2x) para escrever
cos^3(2x)=cos(2x),cos^2(2x)=cos(2x)l(1-sin^2(2x)r)
Assim a integral vira
integral cos^3(2x),dx = integral cos(2x)l(1-sin^2(2x)r),dx

Passo 3

Fazemos a substituição
u = sin(2x), du = 2cos(2x),dx ;;Longrightarrow;; cos(2x),dx = du2
Então
integral cos(2x)l(1-sin^2(2x)r),dx = integral l(1 - u^2r)du2 = 12 integral l(1 - u^2r),du

Passo 4

Agora integramos em u:
12 integral (1 - u^2),du = 12l(u - u^33r) + C

Passo 5

Retornando a x com u=sin(2x), obtemos
12l(sin(2x) - sin^3(2x)3r) + C = 12sin(2x) ;-;16sin^3(2x) + C

Resposta

integral cos^3(2x),dx = 12 sin(2x) - 16 sin^3(2x) + C

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