Em cada um dos problemas de 1 a 8 , encontre a solução geral da equação diferencial dada.
2 y^prime prime+3 y^prime+y=t^2+3 sen t

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de coeficientes constantes
2y''+3y'+y = t^2 + 3sin t
O conteúdo aqui é resolução de EDO linear não homogênea: primeiro achamos a solução geral da equação homogênea associada, depois um particular pelo método dos coeficientes a determinar.

Passo 2

Equação homogênea associada:
2y''+3y'+y = 0
A equação característica é
2r^2+3r+1 = 0,
cuja fatoração (2r+1)(r+1)=0 dá as raízes r=-tfrac12 e r=-1. Logo a solução homogênea é
yh(t) = C1e^-t + C2e^-t/2

Passo 3

Procuramos um particular para o termo polinomial t^2. Fazemos o palpite
yp1(t) = A t^2 + B t + C
Calculamos
y'p1 = 2A t + B, y''p1=2A,
e então
2y''p1+3y'p1+yp1 =2cdot2A +3(2A t + B) + (A t^2+B t + C) = A t^2 + (6A+B)t + (4A+3B+C)
Igualando a t^2 obtemos
A=1, 6A+B=0;Rightarrow;B=-6, 4A+3B+C=0;Rightarrow;C=14
Logo
yp1(t)=t^2-6t+14

Passo 4

Agora tratamos o termo 3sin t. Fazemos o palpite
yp2(t) = acos t + bsin t
Então
y'p2 = -asin t + bcos t, y''p2 = -acos t - bsin t,
e
2y''p2+3y'p2+yp2 =(-2a+3b+a)cos t +(-2b-3a+b)sin t =(-a+3b)cos t +(-3a-b)sin t
Igualando a 3sin t dá o sistema
-a+3b=0, -3a-b=3,
cuja solução é b=-tfrac310, a=-tfrac910. Assim
yp2(t)=-tfrac910cos t - tfrac310sin t

Passo 5

A solução geral é a soma da homogênea com os particulares:
y(t)=C1e^-t+C2e^-t/2 ;+; l(t^2-6t+14r);-;tfrac910cos t;-;tfrac310sin t

Resposta

boxedy(t)=C1e^-t+C2e^-t/2 + t^2-6t+14 - tfrac910cos t - tfrac310sin t

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