Em cada integral sguinte formular uma lei de recorrência ao índice de ordem anterior e avaliá-la para n=3.
(e) In(x)=integral cotg^n x d x, n in Z, n >= 0

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma integral definida como , onde é um número inteiro não negativo. Nosso objetivo é criar uma relação de recorrência que relaciona com e, em seguida, calcular .

Passo 2

Para formular a recorrência, vamos usar a técnica de integração por partes. Lembrando que a integração por partes é baseada na fórmula:
integral u , dv = uv - integral v , du
Escolhemos e . Assim, precisamos encontrar e .

Passo 3

Calculando u = cot^n-1 x du = (n-1) cot^n-2 x cdot (-csc^2 x) , dx = - (n-1) cot^n-2 x csc^2 x , dx :
dv = cot x , dx v = integral cot x , dx = ln|sin x| + C
Calculando :
Para simplificar, ignoramos a constante de integração aqui.

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral cot^n x , dx = u cdot v - integral v , du In(x) = cot^n-1 x cdot ln|sin x| - integral ln|sin x| cdot (- (n-1) cot^n-2 x csc^2 x) , dx
Simplificando:
In(x) = cot^n-1 x cdot ln|sin x| + (n-1) integral cot^n-2 x csc^2 x , dx

Passo 5

Observando que In(x) = cot^n-1 x cdot ln|sin x| + (n-1) integral cot^n-2 x (1 + cot^2 x) , dx In(x) = cot^n-1 x cdot ln|sin x| + (n-1) integral cot^n-2 x , dx + (n-1) integral cot^n x , dx , podemos reescrever a integral:
In(x) = cot^n-1 x cdot ln|sin x| + (n-1) In-2(x) + (n-1) In(x)
Notando que , reescrevemos:

Passo 6

Isolando In(x) - (n-1) In(x) = cot^n-1 x cdot ln|sin x| + (n-1) In-2(x) (1 - (n-1)) In(x) = cot^n-1 x cdot ln|sin x| + (n-1) In-2(x) In(x) = cot^n-1 x cdot ln|sin x|2 - n + (n-1)2 - n In-2(x) :
In(x) = cot^n-1 xn-1 - In-2(x)
Simplificando os coeficientes:

Passo 7

Agora que temos a relação de recorrência I3(x) = cot^2 x2 - I1(x) , vamos aplicá-la para :

Passo 8

Calculando I1(x) = integral cot x , dx = ln|sin x| + C :
I3(x) = cot^2 x2 - ln|sin x| + C
Substituindo de volta:

Resposta

A integral para I3(x) = cot^2 x2 - ln|sin x| + C é:

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