Em cada integral sguinte formular uma lei de recorrência ao índice de ordem anterior e avaliá-la para
.
(e)
(e)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma integral definida como
, onde
é um número inteiro não negativo. Nosso objetivo é criar uma relação de recorrência que relaciona
com
e, em seguida, calcular
.
Passo 2
Para formular a recorrência, vamos usar a técnica de integração por partes. Lembrando que a integração por partes é baseada na fórmula:
Escolhemos
e
. Assim, precisamos encontrar
e
.
Passo 3
Calculando
:
Calculando
:
Para simplificar, ignoramos a constante de integração aqui.
Passo 4
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Simplificando:
Passo 5
Observando que
, podemos reescrever a integral:
Notando que
, reescrevemos:
Passo 6
Isolando
:
Simplificando os coeficientes:
Passo 7
Agora que temos a relação de recorrência
, vamos aplicá-la para
:
Passo 8
Calculando
:
Substituindo de volta:
Resposta
A integral para
é: