Calcule
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Passo 1
Beleza, galera! A gente tem um exercício que pede para calcular a derivada de uma função que envolve seno e potências. A função é
. Vamos usar conhecimentos de cálculo, especialmente a regra da cadeia e diferenciação de funções exponenciais com expoentes que também dependem de
. Para resolver, vamos precisar aplicar logaritmos para facilitar a diferenciação.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o problema usando logaritmos. Tirar o logaritmo de ambos os lados da equação ajuda a trazer o expoente para frente. Assim, temos:
Passo 3
Usando a propriedade dos logaritmos que diz que
, vamos simplificar o lado direito:
Passo 4
Agora, vamos derivar ambos os lados da equação com relação a
. Do lado esquerdo, usando a regra da cadeia, a derivada de
é
. Do lado direito, temos um produto de duas funções, então vamos aplicar a regra do produto:
Passo 5
Vamos calcular cada derivada separadamente. Primeiro, a derivada de
é
:
Segundo, para a derivada de
, aplicamos a regra da cadeia novamente:
Então, juntando tudo, temos:
Passo 6
Para encontrar
, multiplicamos ambos os lados por
, que é
:
Resposta
A derivada de
é