Calcule f'(x).
f(x) = (2 + sen(x))^(cos(x)).

Passo 1

Beleza, galera! A gente tem um exercício que pede para calcular a derivada de uma função que envolve seno e potências. A função é . Vamos usar conhecimentos de cálculo, especialmente a regra da cadeia e diferenciação de funções exponenciais com expoentes que também dependem de . Para resolver, vamos precisar aplicar logaritmos para facilitar a diferenciação.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o problema usando logaritmos. Tirar o logaritmo de ambos os lados da equação ajuda a trazer o expoente para frente. Assim, temos:

Passo 3

Usando a propriedade dos logaritmos que diz que , vamos simplificar o lado direito:

Passo 4

Agora, vamos derivar ambos os lados da equação com relação a . Do lado esquerdo, usando a regra da cadeia, a derivada de é . Do lado direito, temos um produto de duas funções, então vamos aplicar a regra do produto:

Passo 5

Vamos calcular cada derivada separadamente. Primeiro, a derivada de é :
Segundo, para a derivada de , aplicamos a regra da cadeia novamente:
Então, juntando tudo, temos:

Passo 6

Para encontrar , multiplicamos ambos os lados por , que é :

Resposta

A derivada de é

Exercícios relacionados