Calcular, usando o Teorema Fundamental do Cálculo, a derivada de cada função seguinte:
(b) f(x)=integral0^sen x e^t^2 d t, forall x in R

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar a derivada da função usando o Teorema Fundamental do Cálculo. Vou te mostrar passo a passo como fazer isso!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que diz o Teorema Fundamental do Cálculo. Ele nos ajuda a relacionar integrais com derivadas. Mais especificamente, se temos uma função definida por uma integral cujo limite superior é uma função de , a derivada dessa função pode ser encontrada avaliando a função integranda nesse limite superior e multiplicando pela derivada desse limite.

Passo 3

Aqui, nossa função é . Comparando com o teorema, temos:
  • A função integranda é .
  • O limite superior da integral é .

Passo 4

Para achar f'(x) = e^(sin x)^2 cdot ddx (sin x) , a derivada de , aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo:

Passo 5

Agora, calculamos a derivada de f'(x) = e^(sin x)^2 cdot cos x , que é . Então substituímos na equação:

Resposta

A derivada da função é:
f'(x) = e^sin^2 x cdot cos x

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