Calcule
em termos de
e
, onde
é uma função derivável dada implicitamente pela equação:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a derivada de
em relação a
, ou seja,
, onde
é uma função de
definida pela equação
. Para isso, vamos usar o conceito de diferenciação implícita, que é útil quando
não está isolada.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é diferenciação implícita. Quando temos uma equação que relaciona
e
de forma que
não está isolada, a diferenciação implícita nos ajuda a encontrar
diferenciando ambos os lados da equação em relação a
.
Passo 3
Vamos começar diferenciando ambos os lados da equação
em relação a
. Lembre-se de que
é uma função de
, então ao diferenciar termos com
, precisamos usar a regra da cadeia.
Passo 4
Diferenciando o lado esquerdo
:
- A derivada de
em relação a é , onde . - Agora, derivamos
usando a regra do quociente: - Então, a derivada do lado esquerdo fica:
Passo 5
Diferenciando o lado direito
:
- A derivada de
em relação a é 1. - A derivada de
em relação a é . - Então, a derivada do lado direito fica:
Passo 6
Agora, igualamos as derivadas dos dois lados:
Passo 7
Vamos resolver para
. Primeiro, multiplique ambos os lados por
para eliminar o denominador:
Passo 8
Distribuindo o
e
:
Passo 9
Vamos reunir os termos que contêm
de um lado e os demais do outro:
Passo 10
Fatorando
no lado esquerdo:
Passo 11
Finalmente, isolamos
:
Resposta
A derivada
em termos de
e
é: