Calcule d/y d/x em termos de x e y, onde
y = f(x) é uma função derivável dada implicitamente pela equação:
e^(x/y) = x - y.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a derivada de em relação a , ou seja, , onde é uma função de definida pela equação . Para isso, vamos usar o conceito de diferenciação implícita, que é útil quando não está isolada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é diferenciação implícita. Quando temos uma equação que relaciona e de forma que não está isolada, a diferenciação implícita nos ajuda a encontrar diferenciando ambos os lados da equação em relação a .

Passo 3

Vamos começar diferenciando ambos os lados da equação em relação a . Lembre-se de que é uma função de , então ao diferenciar termos com , precisamos usar a regra da cadeia.

Passo 4

Diferenciando o lado esquerdo :
  • A derivada de em relação a é , onde .
  • Agora, derivamos usando a regra do quociente:
  • Então, a derivada do lado esquerdo fica:

Passo 5

Diferenciando o lado direito :
  • A derivada de em relação a é 1.
  • A derivada de em relação a é .
  • Então, a derivada do lado direito fica:

Passo 6

Agora, igualamos as derivadas dos dois lados:

Passo 7

Vamos resolver para . Primeiro, multiplique ambos os lados por para eliminar o denominador:

Passo 8

Distribuindo o e :

Passo 9

Vamos reunir os termos que contêm de um lado e os demais do outro:

Passo 10

Fatorando no lado esquerdo:

Passo 11

Finalmente, isolamos :

Resposta

A derivada em termos de e é:

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