Mostrar que as seguintes integrais impróprias são convergentes:
(b) Gamma(n)=integral0^+infty e^-x x^n-1 d x, n in N.
Determinar uma fórmula de recorrência à ordem anterior.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente precisa mostrar que a integral imprópria Gamma(n) = integral0^+infty e^-x x^n-1 dx converge para n natural. Além disso, vamos descobrir uma fórmula que relaciona Gamma(n) com Gamma(n-1), ou seja, uma fórmula de recorrência. Para isso, vamos usar noções de cálculo de integrais e propriedades da função exponencial.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa essa integral ser convergente. Uma integral imprópria converge se o seu limite existe e é finito. No nosso caso, precisamos ver se integral0^+infty e^-x x^n-1 dx dá um número finito quando n é um número natural.

Passo 3

Vamos dividir a integral em duas partes para facilitar a análise: de 0 a 1 e de 1 a +infinito.
Gamma(n) = integral0^1 e^-x x^n-1 dx + integral1^+infty e^-x x^n-1 dx
Vamos analisar a convergência de cada uma dessas partes separadamente.

Passo 4

Primeira parte: integral0^1 e^-x x^n-1 dx
Perto de x = 0, a função e^-x se aproxima de 1, então podemos aproximar a integral por integral0^1 x^n-1 dx. A integral integral0^1 x^n-1 dx é igual a 1n, que é finita. Portanto, a primeira parte converge.

Passo 5

Segunda parte: integral1^+infty e^-x x^n-1 dx
Para x >= 1, a função e^-x decai exponencialmente, o que é mais rápido do que qualquer polinômio x^n-1. Isso garante que a integral integral1^+infty e^-x x^n-1 dx também converge, já que a função está sendo “muito” controlada pelo termo exponencial.

Passo 6

Como as duas partes da integral convergem, podemos concluir que a integral imprópria Gamma(n) é convergente para todo n natural.

Passo 7

Agora, vamos encontrar uma fórmula de recorrência que relaciona Gamma(n) com Gamma(n-1). Para isso, vamos usar integração por partes.
Vamos definir:
  • u = x^n-1, então du = (n-1)x^n-2 dx
  • dv = e^-x dx, então v = -e^-x
Aplicando a integração por partes:
Gamma(n) = integral0^+infty e^-x x^n-1 dx = -e^-x x^n-1 |0^+infty + (n-1) integral0^+infty e^-x x^n-2 dx
A primeira parte -e^-x x^n-1 |0^+infty é igual a 0, já que e^-x decai para 0 quando x to +infty e x^n-1 também tende a 0 quando x to 0 para n >= 1.
Então, ficamos com:
Gamma(n) = (n-1) Gamma(n-1)

Resposta

A integral imprópria Gamma(n) = integral0^+infty e^-x x^n-1 dx é convergente para todo n in N, e a fórmula de recorrência é dada por:
Gamma(n) = (n-1) Gamma(n-1)

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