Mostrar que as seguintes integrais impróprias são convergentes:
(b) .
Determinar uma fórmula de recorrência à ordem anterior.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente precisa mostrar que a integral imprópria converge para natural. Além disso, vamos descobrir uma fórmula que relaciona com , ou seja, uma fórmula de recorrência. Para isso, vamos usar noções de cálculo de integrais e propriedades da função exponencial.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa essa integral ser convergente. Uma integral imprópria converge se o seu limite existe e é finito. No nosso caso, precisamos ver se dá um número finito quando é um número natural.
Passo 3
Vamos dividir a integral em duas partes para facilitar a análise: de 0 a 1 e de 1 a +infinito.
Vamos analisar a convergência de cada uma dessas partes separadamente.
Passo 4
Primeira parte:
Perto de , a função se aproxima de 1, então podemos aproximar a integral por . A integral é igual a , que é finita. Portanto, a primeira parte converge.
Passo 5
Segunda parte:
Para , a função decai exponencialmente, o que é mais rápido do que qualquer polinômio . Isso garante que a integral também converge, já que a função está sendo “muito” controlada pelo termo exponencial.
Passo 6
Como as duas partes da integral convergem, podemos concluir que a integral imprópria é convergente para todo natural.
Passo 7
Agora, vamos encontrar uma fórmula de recorrência que relaciona com . Para isso, vamos usar integração por partes.
Vamos definir:
, então
, então
Aplicando a integração por partes:
A primeira parte -e^-x x^n-1 |0^+infty é igual a 0, já que e^-x decai para 0 quando x to +infty e x^n-1 também tende a 0 quando x to 0 para n >= 1.
Então, ficamos com:
Gamma(n) = (n-1) Gamma(n-1)
Resposta
A integral imprópria Gamma(n) = integral0^+infty e^-x x^n-1 dx é convergente para todo n in N, e a fórmula de recorrência é dada por: