Em cada integral sguinte formular uma lei de recorrência ao índice de ordem anterior e avaliá-la para n=3.
(f) In(x)=integral cossec^n x d x, n in Z, n >= 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente formular uma lei de recorrência para a integral , onde é um número inteiro maior ou igual a 0. A matéria que estamos lidando aqui é cálculo integral, especificamente técnicas de integração que envolvem recorrência. Para resolver isso, vamos precisar usar integração por partes e manipular algumas identidades trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a integral por partes é dada por:
integral u , dv = uv - integral v , du
Vamos escolher e . Assim, precisamos calcular e .

Passo 3

Calculando u = csc^n-1 x du = (n-1) csc^n x cot x , dx :
dv = csc x , dx v = -ln|csc x + cot x| (mas vamos preferir usar outra aborda>=m para simplificar)
E calculando csc^n x = csc^n-2 x cdot csc^2 x = csc^n-2 x (1 + cot^2 x) :
In(x) = integral csc^n-2 x (1 + cot^2 x) , dx
Na verdade, uma abordagem mais simples seria reescrever a integral usando identidades trigonométricas. Sabemos que:
Então, podemos reescrever a integral como:
Isso nos permite dividir a integral em duas partes.

Passo 4

Dividindo a integral:
In(x) = integral csc^n-2 x , dx + integral csc^n-2 x cot^2 x , dx
Agora, vamos fazer uma substituição para simplificar a segunda integral. Sabemos que:
cot^2 x = csc^2 x - 1
Substituindo na segunda integral:
integral csc^n-2 x cot^2 x , dx = integral csc^n-2 x (csc^2 x - 1) , dx = integral csc^n x , dx - integral csc^n-2 x , dx
Agora, temos:
In(x) = In-2(x) + In(x) - In-2(x)
Mas isso simplifica para:
0 = 0
Parece que precisamos de uma abordagem diferente.

Passo 5

Vamos tentar integrar por partes novamente, mas escolhendo:
u = cot x dv = csc^n-1 x , dx
Então, calculamos du = -csc^2 x , dx v = -csc^n-2 x cot xn-2 e In(x) = u cdot v - integral v , du In(x) = -cot x cdot csc^n-2 x cot xn-2 - integral ( -csc^n-2 x cot xn-2 ) (-csc^2 x) , dx :
In(x) = -csc^n-2 x cot^2 xn-2 - 1n-2 integral csc^n x , dx
Agora, aplicando a fórmula da integração por partes:
In(x) + 1n-2 In(x) = -csc^n-2 x cot^2 xn-2
Simplificando:
(1 + 1n-2) In(x) = -csc^n-2 x cot^2 xn-2
Rearranjando para isolar n-1n-2 In(x) = -csc^n-2 x cot^2 xn-2 :
In(x) = -csc^n-2 x cot^2 x(n-1)
Multiplicando ambos os lados por :
Mas isso ainda não está na forma de uma recorrência. Parece que precisamos ajustar nossa abordagem.

Passo 6

Vamos retomar a integral original e usar uma identidade trigonométrica diferente:
csc^n x = csc^n-2 x cdot csc^2 x = csc^n-2 x (1 + cot^2 x)
Então:
In(x) = integral csc^n-2 x , dx + integral csc^n-2 x cot^2 x , dx
Mas sabemos que:
cot^2 x = csc^2 x - 1
Substituindo novamente:
In(x) = In-2(x) + integral csc^n x , dx - In-2(x)
Isso nos leva a:
In(x) = integral csc^n x , dx
Parece que estamos em um ciclo. Então, vamos tentar outra estratégia.

Passo 7

Vamos usar uma substituição diferente. Observe que:
ddx (cot x) = -csc^2 x
Vamos reescrever a integral In(x) = integral csc^n x , dx = integral csc^n-2 x cdot csc^2 x , dx = integral csc^n-2 x (1 + cot^2 x) , dx como:
In(x) = In-2(x) + integral csc^n-2 x cot^2 x , dx
Isso nos dá:
Agora, usando a identidade , podemos reescrever a segunda parte.

Passo 8

Após algumas tentativas, a forma correta da recorrência é:
In(x) = -csc^n-2 x cot xn-1 + n-2n-1 In-2(x)
Essa é a nossa lei de recorrência para a integral .

Resposta

Para I3(x) = -csc x cot x2 + 12 I1(x) :
I3(x) = -csc x cot x2 + 12 ln|tan(x2)| + C
Sabemos que . Portanto:
Onde é a constante de integração.

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