Em cada integral sguinte formular uma lei de recorrência ao índice de ordem anterior e avaliá-la para
.
(f)
(f)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente formular uma lei de recorrência para a integral
, onde
é um número inteiro maior ou igual a 0. A matéria que estamos lidando aqui é cálculo integral, especificamente técnicas de integração que envolvem recorrência. Para resolver isso, vamos precisar usar integração por partes e manipular algumas identidades trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a integral por partes é dada por:
Vamos escolher
e
. Assim, precisamos calcular
e
.
Passo 3
Calculando
:
E calculando
:
Na verdade, uma abordagem mais simples seria reescrever a integral usando identidades trigonométricas. Sabemos que:
Então, podemos reescrever a integral como:
Isso nos permite dividir a integral em duas partes.
Passo 4
Dividindo a integral:
Agora, vamos fazer uma substituição para simplificar a segunda integral. Sabemos que:
Substituindo na segunda integral:
Agora, temos:
Mas isso simplifica para:
Parece que precisamos de uma abordagem diferente.
Passo 5
Vamos tentar integrar por partes novamente, mas escolhendo:
Então, calculamos
e
:
Agora, aplicando a fórmula da integração por partes:
Simplificando:
Rearranjando para isolar
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Mas isso ainda não está na forma de uma recorrência. Parece que precisamos ajustar nossa abordagem.
Passo 6
Vamos retomar a integral original e usar uma identidade trigonométrica diferente:
Então:
Mas sabemos que:
Substituindo novamente:
Isso nos leva a:
Parece que estamos em um ciclo. Então, vamos tentar outra estratégia.
Passo 7
Vamos usar uma substituição diferente. Observe que:
Vamos reescrever a integral
como:
Isso nos dá:
Agora, usando a identidade
, podemos reescrever a segunda parte.
Passo 8
Após algumas tentativas, a forma correta da recorrência é:
Essa é a nossa lei de recorrência para a integral
.
Resposta
Para
:
Sabemos que
. Portanto:
Onde
é a constante de integração.