Estudar quanto à convergência as integrais impróprias a seguir:
(a)
.
(a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente estudar a convergência da integral imprópria:
Aqui, estamos lidando com integrais impróprias porque os limites de integração vão até o infinito. O conteúdo envolvido inclui cálculo de integrais e o conceito de convergência. Para resolver, vamos precisar entender como integrar funções exponenciais e verificar se a área sob a curva é finita.
Passo 2
Primeiro, vamos notar que a função
é simétrica em relação ao eixo y porque o valor absoluto de
garante que a função seja a mesma para
positivo e negativo. Isso significa que podemos simplificar a integral de
a
para duas vezes a integral de 0 a
.
Então, temos:
Passo 3
Agora, vamos calcular a integral
. Sabemos que a integral de
de 0 a
é:
Aqui,
, e como
,
.
Aplicando isso, temos:
Passo 4
Agora, voltando à nossa expressão original:
Então, a integral total é:
Resposta
A integral imprópria
converge e seu valor é
.