Estudar quanto à convergência as integrais impróprias a seguir:
(a) integral-infty^+infty e^-alpha^2|x| d x, alpha neq 0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente estudar a convergência da integral imprópria:
integral-infty^+infty e^-alpha^2|x| , dx, alpha neq 0
Aqui, estamos lidando com integrais impróprias porque os limites de integração vão até o infinito. O conteúdo envolvido inclui cálculo de integrais e o conceito de convergência. Para resolver, vamos precisar entender como integrar funções exponenciais e verificar se a área sob a curva é finita.

Passo 2

Primeiro, vamos notar que a função integral-infty^+infty e^-alpha^2|x| , dx = 2 integral0^+infty e^-alpha^2x , dx é simétrica em relação ao eixo y porque o valor absoluto de garante que a função seja a mesma para positivo e negativo. Isso significa que podemos simplificar a integral de a para duas vezes a integral de 0 a .
Então, temos:

Passo 3

Agora, vamos calcular a integral integral0^+infty e^-kx , dx = 1k, k > 0 . Sabemos que a integral de integral0^+infty e^-alpha^2x , dx = 1alpha^2 de 0 a é:
Aqui, , e como , .
Aplicando isso, temos:

Passo 4

Agora, voltando à nossa expressão original:
integral-infty^+infty e^-alpha^2|x| , dx = 2 integral0^+infty e^-alpha^2x , dx = 2 cdot 1alpha^2
Então, a integral total é:
2alpha^2

Resposta

A integral imprópria converge e seu valor é .

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