Calcular lim x 1 1x^2-1 integral1^x^2 log (t^2+1) d t.

Passo 1

No enunciado da questão, precisamos calcular o limite . Vamos usar conceitos de cálculo, especificamente o Teorema Fundamental do Cálculo e a regra de L’Hôpital, para resolver esse tipo de limite onde temos uma forma indeterminada.

Passo 2

Primeiro, observamos que quando se aproxima de 1, o denominador se aproxima de 0. Simultaneamente, o limite superior da integral também se aproxima de 1, fazendo com que a integral também se aproxime de 0. Então, temos uma forma , que é uma indeterminação. Nesses casos, podemos aplicar a regra de L’Hôpital.

Passo 3

Para aplicar a regra de L’Hôpital, precisamos derivar o numerador e o denominador em relação a ddx ( integral1^x^2 log(t^2+1) dt ) = log((x^2)^2 + 1) cdot ddx(x^2) = 2x cdot log(x^4 + 1) . Vamos começar derivando o numerador, que é a integral .
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, a derivada de uma integral com limite superior variável é igual à função integrando avaliada no limite superior, multiplicada pela derivada desse limite. Então:

Passo 4

Agora, derivamos o denominador ddx (x^2 - 1) = 2x em relação a :

Passo 5

Aplicando a regra de L’Hôpital, substituímos o limite original pelo limite das derivadas:
limx 1 2x cdot log(x^4 + 1)2x = limx 1 log(x^4 + 1)

Passo 6

Agora, basta calcular esse novo limite substituindo limx 1 log(x^4 + 1) = log(1^4 + 1) = log(2) por 1:

Resposta

O limite é .

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