Calcular
.
Passo 1
No enunciado da questão, precisamos calcular o limite
. Vamos usar conceitos de cálculo, especificamente o Teorema Fundamental do Cálculo e a regra de L’Hôpital, para resolver esse tipo de limite onde temos uma forma indeterminada.
Passo 2
Primeiro, observamos que quando
se aproxima de 1, o denominador
se aproxima de 0. Simultaneamente, o limite superior da integral
também se aproxima de 1, fazendo com que a integral
também se aproxime de 0. Então, temos uma forma
, que é uma indeterminação. Nesses casos, podemos aplicar a regra de L’Hôpital.
Passo 3
Para aplicar a regra de L’Hôpital, precisamos derivar o numerador e o denominador em relação a
. Vamos começar derivando o numerador, que é a integral
.
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, a derivada de uma integral com limite superior variável é igual à função integrando avaliada no limite superior, multiplicada pela derivada desse limite. Então:
Passo 4
Agora, derivamos o denominador
em relação a
:
Passo 5
Aplicando a regra de L’Hôpital, substituímos o limite original pelo limite das derivadas:
Passo 6
Agora, basta calcular esse novo limite substituindo
por 1:
Resposta
O limite é
.