Considere, no R^2, a hipérbole equilátera unitária
x^2 - y^2 = 1
Considere o setor hiperbólico situado no 1^0 quadrante de vértices O = (0,0), P0=(x0, y0) e A = (1, 0). Denote a medida da área do referido setor hiperbólico por S.
(a) Expressar o valor de S em termos de x_0 e y0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos uma hipérbole equilibrada no plano, que é dada por . O que a questão quer é que a gente encontre a área de um setor hiperbólico no primeiro quadrante, limitado pelos pontos , e . Para isso, vamos precisar usar cálculo, especialmente integrais, para calcular a área sob a curva da hipérbole entre e .

Passo 2

Primeiro, vamos entender como encontrar a área sob a curva da hipérbole entre dois pontos. A ideia é integrar a função que define a hipérbole com respeito a no intervalo de a . A equação da hipérbole é , então podemos resolver para :

Passo 3

Agora que temos em termos de , a área que queremos encontrar é a integral de de até :

Passo 4

Vamos resolver essa integral. A integral de pode ser resolvida usando uma substituição trigonométrica ou hiperbólica, mas para simplificar, sabemos que:

Passo 5

Aplicando os limites de integração de a :
Sabemos que , então simplificando:

Resposta

A área do setor hiperbólico é dada por:

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