Considere, no
, a hipérbole equilátera unitária
Considere o setor hiperbólico situado no
quadrante de vértices
e
. Denote a medida da área do referido setor hiperbólico por
.
(a) Expressar o valor de
em termos de
e
.
(a) Expressar o valor de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos uma hipérbole equilibrada no plano, que é dada por
. O que a questão quer é que a gente encontre a área
de um setor hiperbólico no primeiro quadrante, limitado pelos pontos
,
e
. Para isso, vamos precisar usar cálculo, especialmente integrais, para calcular a área sob a curva da hipérbole entre
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como encontrar a área sob a curva da hipérbole entre dois pontos. A ideia é integrar a função que define a hipérbole com respeito a
no intervalo de
a
. A equação da hipérbole é
, então podemos resolver para
:
Passo 3
Agora que temos
em termos de
, a área
que queremos encontrar é a integral de
de
até
:
Passo 4
Vamos resolver essa integral. A integral de
pode ser resolvida usando uma substituição trigonométrica ou hiperbólica, mas para simplificar, sabemos que:
Passo 5
Aplicando os limites de integração de
a
:
Sabemos que
, então simplificando:
Resposta
A área
do setor hiperbólico é dada por: