Calcular, usando o Teorema Fundamental do Cálculo, a derivada de cada função seguinte:
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a derivada da função
para todo
. Para resolver isso, vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo, que nos ajuda a derivar funções que são integrais com limites que dependem de
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar do que diz o Teorema Fundamental do Cálculo quando temos uma função definida como integral com limites variáveis. Se
, então a derivada
é dada por:
Isso significa que a gente precisa avaliar a função dentro da integral nos limites superiores e inferiores e multiplicar pela derivada desses limites.
Passo 3
No nosso caso, a função dentro da integral é
. Os limites são:
- Limite inferior:
- Limite superior:
Então, vamos calcular as derivadas desses limites em relação a
:
Passo 4
Agora, aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo:
Substituindo os valores que encontramos:
Passo 5
Vamos simplificar cada termo:
Resposta
Portanto, a derivada da função é: