Calcular, usando o Teorema Fundamental do Cálculo, a derivada de cada função seguinte:
© f(x)=integral-log x^e^x e^-t^2 d t, forall x>0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a derivada da função para todo . Para resolver isso, vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo, que nos ajuda a derivar funções que são integrais com limites que dependem de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar do que diz o Teorema Fundamental do Cálculo quando temos uma função definida como integral com limites variáveis. Se f'(x) = F(b(x)) cdot b'(x) - F(a(x)) cdot a'(x) , então a derivada é dada por:
Isso significa que a gente precisa avaliar a função dentro da integral nos limites superiores e inferiores e multiplicar pela derivada desses limites.

Passo 3

No nosso caso, a função dentro da integral é b'(x) = ddx e^x = e^x . Os limites são:
  • Limite inferior: a'(x) = ddx (-log x) = -1x
  • Limite superior:
Então, vamos calcular as derivadas desses limites em relação a :

Passo 4

Agora, aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo:
f'(x) = F(b(x)) cdot b'(x) - F(a(x)) cdot a'(x)
Substituindo os valores que encontramos:
f'(x) = e^-(e^x)^2 cdot e^x - e^-(-log x)^2 cdot (-1x)

Passo 5

Vamos simplificar cada termo:

Resposta

Portanto, a derivada da função é:
f'(x) = e^x - e^2x + e^-(log x)^2x

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