Em cada integral sguinte formular uma lei de recorrência ao índice de ordem anterior e avaliá-la para n=3.
(b) In(x)=integral sen^n x d x, n in Z, n >= 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que resolver a integral para valores de maiores ou iguais a zero. O que nos pedem é criar uma lei de recorrência, que é basicamente uma fórmula que relaciona com . Depois disso, vamos aplicar essa lei para calcular . Para isso, vamos precisar usar integração por partes, uma técnica essencial em cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a integração por partes. A fórmula é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Nesse caso, vamos escolher partes da nossa integral para e .

Passo 3

Vamos escolher:
u = sin^n-1 x e dv = sin x , dx
Agora, vamos calcular du = (n-1) sin^n-2 x cos x , dx e v = -cos x e :

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral sin^n x , dx = uv - integral v , du
Substituindo:
In(x) = -sin^n-1 x cos x + (n-1) integral sin^n-2 x cos^2 x , dx

Passo 5

Sabemos que In(x) = -sin^n-1 x cos x + (n-1) ( integral sin^n-2 x , dx - integral sin^n x , dx ) . Vamos substituir isso na integral:
In(x) = -sin^n-1 x cos x + (n-1) In-2(x) - (n-1) In(x)
Isso dá:

Passo 6

Vamos isolar In(x) + (n-1) In(x) = -sin^n-1 x cos x + (n-1) In-2(x) :
n In(x) = -sin^n-1 x cos x + (n-1) In-2(x)
In(x) = -sin^n-1 x cos xn + n-1n In-2(x)
Dividindo ambos os lados por :

Passo 7

Essa é a nossa lei de recorrência:
In(x) = -sin^n-1 x cos xn + n-1n In-2(x)

Passo 8

Agora, vamos avaliar para I3(x) = -sin^2 x cos x3 + 23 I1(x) :
I1(x) = integral sin x , dx = -cos x + C
Sabemos que:
I3(x) = -sin^2 x cos x3 + 23 (-cos x) + C
Então:
I3(x) = -sin^2 x cos x3 - 23 cos x + C

Resposta

A integral para I3(x) = -sin^2 x cos x3 - 23 cos x + C é:

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