Estudar quanto à convergência as integrais impróprias a seguir:
(b)
.
(b)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos estudar a convergência da integral imprópria
Isso significa verificar se essa integral tem um valor finito ou se ela “diverge” para infinito. Para resolver isso, vamos precisar de conhecimentos de cálculo integral, especialmente sobre integrais impróprias e técnicas para determinar sua convergência.
Passo 2
Vamos começar dividindo a integral em duas partes, pois ela vai de
até
. Podemos separar em:
Isso ajuda a simplificar o cálculo, já que vamos resolver cada parte separadamente.
Passo 3
Vamos focar na segunda parte primeiro:
Para resolver essa integral, usamos uma fórmula padrão de integrais que envolve funções racionais do tipo
. A antiderivada dessa função é conhecida e vai nos ajudar a calcular o valor da integral.
Passo 4
A antiderivada de
é:
onde
é a constante de integração.
Passo 5
Agora, aplicamos os limites de integração de
a
:
Passo 6
Calculando os valores:
- Para
:
- Para
:
Portanto,
Passo 7
Como a função
é par (ou seja, simétrica em relação ao eixo y), a integral de
a
é igual à de
a
. Assim, multiplicamos o resultado por 2:
Resposta
A integral imprópria
converge e seu valor é