Estudar quanto à convergência as integrais impróprias a seguir:
(b) integral-infty^+infty 1x^2+a^2 d x, a neq 0.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos estudar a convergência da integral imprópria
integral-infty^+infty 1x^2 + a^2 , dx, a neq 0
Isso significa verificar se essa integral tem um valor finito ou se ela “diverge” para infinito. Para resolver isso, vamos precisar de conhecimentos de cálculo integral, especialmente sobre integrais impróprias e técnicas para determinar sua convergência.

Passo 2

Vamos começar dividindo a integral em duas partes, pois ela vai de -infty até +infty. Podemos separar em:
integral-infty^+infty 1x^2 + a^2 , dx = integral-infty^0 1x^2 + a^2 , dx + integral0^+infty 1x^2 + a^2 , dx
Isso ajuda a simplificar o cálculo, já que vamos resolver cada parte separadamente.

Passo 3

Vamos focar na segunda parte primeiro:
integral0^+infty 1x^2 + a^2 , dx
Para resolver essa integral, usamos uma fórmula padrão de integrais que envolve funções racionais do tipo 1x^2 + a^2. A antiderivada dessa função é conhecida e vai nos ajudar a calcular o valor da integral.

Passo 4

A antiderivada de 1x^2 + a^2 é:
integral 1x^2 + a^2 , dx = 1a arctan( xa ) + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a +infty:
integral0^+infty 1x^2 + a^2 , dx = [ 1a arctan( xa ) ]0^+infty

Passo 6

Calculando os valores:
  • Para x = +infty:
arctan( +inftya ) = pi2
  • Para x = 0:
arctan(0) = 0
Portanto,
integral0^+infty 1x^2 + a^2 , dx = 1a ( pi2 - 0 ) = pi2a

Passo 7

Como a função 1x^2 + a^2 é par (ou seja, simétrica em relação ao eixo y), a integral de -infty a 0 é igual à de 0 a +infty. Assim, multiplicamos o resultado por 2:
integral-infty^+infty 1x^2 + a^2 , dx = 2 times pi2a = pia

Resposta

A integral imprópria
integral-infty^+infty 1x^2 + a^2 , dx
converge e seu valor é
pia

Exercícios relacionados