Em cada integral sguinte formular uma lei de recorrência ao índice de ordem anterior e avaliá-la para n=3.
(g) In(x)=integral 1(1+x^2)^n d x, n in Z

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . O que a gente precisa aqui é encontrar uma lei de recorrência, ou seja, uma relação que liga com . Para isso, vamos usar integração por partes, uma técnica que ajuda a simplificar integrais complicadas relacionando-as com integrais de ordem menor. No final, vamos calcular o valor para .

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a integração por partes, que é dada por:
integral u , dv = uv - integral v , du
Vamos escolher:
  • v = integral 1(1 + x^2)^n , dx = In(x) (assim, )
  • (assim, precisamos encontrar )
Para encontrar , precisamos integrar :

Passo 3

Aplicando a fórmula da integração por partes:
In(x) = u cdot v - integral v cdot du = x cdot In(x) - integral In(x) cdot dx
Mas isso não simplifica muito. Então, vamos tentar outra abordagem usando uma substituição que reduz a potência do denominador.

Passo 4

Vamos reescrever a integral da seguinte forma:
In(x) = integral 1(1 + x^2)^n , dx = integral 1 + x^2 - x^2(1 + x^2)^n , dx = integral 1(1 + x^2)^n-1 , dx - integral x^2(1 + x^2)^n , dx
Simplificando,
In(x) = In-1(x) - integral x^2(1 + x^2)^n , dx

Passo 5

Agora, observe que:
x^2(1 + x^2)^n = (1 + x^2) - 1(1 + x^2)^n = 1(1 + x^2)^n-1 - 1(1 + x^2)^n
Substituindo de volta na integral:
In(x) = In-1(x) - ( In-1(x) - In(x) ) = 2In(x) - In-1(x)
Resolvendo para In(x) = In-1(x)2 :
Mas isso não está correto, então vamos tentar outra técnica.

Passo 6

Vamos usar uma substituição trigonométrica. Sabemos que In(x) = integral 1(1 + x^2)^n , dx pode ser relacionado com In(x) = integral sec^2 theta(sec^2 theta)^n , dtheta = integral cos^2n - 2 theta , dtheta , mas para simplificar, vamos considerar:
Fazendo a substituição , então , e . Substituindo:
Essa integral pode ser reduzida usando identidade trigonométrica, mas fica complexa. Então, voltamos para a integração por partes com outra escolha de e .

Passo 7

Vamos escolher:
  • du = (1 + x^2)^n cdot 1 - x cdot n cdot 2x(1 + x^2)^n-1(1 + x^2)^2n , dx = (1 + x^2) - 2n x^2(1 + x^2)^n+1 , dx = 1 - (2n -1)x^2(1 + x^2)^n+1 , dx (assim, precisamos derivar In(x) = u cdot v - integral v cdot du = x(1 + x^2)^n cdot x - integral x cdot 1 - (2n -1)x^2(1 + x^2)^n+1 , dx )
  • In(x) = x^2(1 + x^2)^n - integral x - (2n -1)x^3(1 + x^2)^n+1 , dx (assim, )
Calculando :
Aplicando integração por partes:
Simplificando:
Ainda está complicado, então vamos adotar uma abordagem direta para a lei de recorrência.

Passo 8

A lei de recorrência para essa integral é dada por:
Isso relaciona In(x) = x2n - 1 cdot 1(1 + x^2)^n-1 + 2n - 22n - 1 In-1(x) com .

Passo 9

Agora, vamos calcular I2(x) = x3 cdot 1(1 + x^2) + 23 I1(x) usando a lei de recorrência.
Primeiro, precisamos conhecer I1(x) = integral 11 + x^2 , dx = arctan(x) + C . Aplicando a lei de recorrência:
I2(x) = x3(1 + x^2) + 23 arctan(x) + C
Sabemos que:
I3(x) = x5(1 + x^2)^2 + 45 I2(x)
Então,
I3(x) = x5(1 + x^2)^2 + 45 ( x3(1 + x^2) + 23 arctan(x) ) + C
Agora, aplicando novamente a lei de recorrência para I3(x) = x5(1 + x^2)^2 + 4x15(1 + x^2) + 815 arctan(x) + C :
Substituindo :
Simplificando:

Resposta

A lei de recorrência para In(x) = x2n - 1 cdot 1(1 + x^2)^n-1 + 2n - 22n - 1 In-1(x) é:
E para I3(x) = x5(1 + x^2)^2 + 4x15(1 + x^2) + 815 arctan(x) + C , temos:

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