Em cada integral sguinte formular uma lei de recorrência ao índice de ordem anterior e avaliá-la para
.
(g)
(g)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. O que a gente precisa aqui é encontrar uma lei de recorrência, ou seja, uma relação que liga
com
. Para isso, vamos usar integração por partes, uma técnica que ajuda a simplificar integrais complicadas relacionando-as com integrais de ordem menor. No final, vamos calcular o valor para
.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a integração por partes, que é dada por:
Vamos escolher:
-
(assim, ) -
(assim, precisamos encontrar )
Para encontrar
, precisamos integrar
:
Passo 3
Aplicando a fórmula da integração por partes:
Mas isso não simplifica muito. Então, vamos tentar outra abordagem usando uma substituição que reduz a potência do denominador.
Passo 4
Vamos reescrever a integral da seguinte forma:
Simplificando,
Passo 5
Agora, observe que:
Substituindo de volta na integral:
Resolvendo para
:
Mas isso não está correto, então vamos tentar outra técnica.
Passo 6
Vamos usar uma substituição trigonométrica. Sabemos que
pode ser relacionado com
, mas para simplificar, vamos considerar:
Fazendo a substituição
, então
, e
. Substituindo:
Essa integral pode ser reduzida usando identidade trigonométrica, mas fica complexa. Então, voltamos para a integração por partes com outra escolha de
e
.
Passo 7
Vamos escolher:
-
(assim, precisamos derivar ) -
(assim, )
Calculando
:
Aplicando integração por partes:
Simplificando:
Ainda está complicado, então vamos adotar uma abordagem direta para a lei de recorrência.
Passo 8
A lei de recorrência para essa integral é dada por:
Isso relaciona
com
.
Passo 9
Agora, vamos calcular
usando a lei de recorrência.
Primeiro, precisamos conhecer
. Aplicando a lei de recorrência:
Sabemos que:
Então,
Agora, aplicando novamente a lei de recorrência para
:
Substituindo
:
Simplificando:
Resposta
A lei de recorrência para
é:
E para
, temos: