A partir da definição do número pi como a medida numérica da área delimitada pelo círculo de raio 1, mostrar que o seu valor está no intervalo (3, 4).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar que o número pi, definido como a área de um círculo com raio 1, está entre 3 e 4. Para isso, vamos usar alguns conceitos de geometria básica, como a fórmula da área do círculo e comparações com figuras que a gente conhece bem.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular a área de um círculo. A área A de um círculo com raio r é dada por:
Como o raio aqui é 1, a fórmula fica:
Então, a área do nosso círculo é exatamente pi.

Passo 3

Agora, para mostrar que pi está entre 3 e 4, vamos comparar a área do círculo com áreas de figuras mais simples que formam ou se encaixam no círculo, como polígonos regulares.

Passo 4

Vamos começar desenhando um hexágono regular (um polígono de 6 lados) inscrito no círculo de raio 1. A área desse hexágono pode ser calculada e sabemos que ela é menor que a área do círculo. Calculando, encontramos que a área do hexágono é:
á
Então, temos que:

Passo 5

Agora, desenhamos um polígono com mais lados, por exemplo, um dodecágono (12 lados) inscrito no mesmo círculo. A área desse polígono é maior que a do hexágono, mas ainda menor que a área do círculo. Calculando, vemos que a área do dodecágono é aproximadamente 3,0. Então:

Passo 6

Por outro lado, se considerarmos um polígono que circunscreve o círculo, como um quadrado com lados tangentes ao círculo, a área desse quadrado é maior que a área do círculo. A área do quadrado com lado (já que o raio é 1) é:
Então:

Resposta

Com isso, mostramos que:

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