A partir da definição do número
como a medida numérica da área delimitada pelo círculo de raio 1, mostrar que o seu valor está no intervalo
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar que o número
, definido como a área de um círculo com raio 1, está entre 3 e 4. Para isso, vamos usar alguns conceitos de geometria básica, como a fórmula da área do círculo e comparações com figuras que a gente conhece bem.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular a área de um círculo. A área
de um círculo com raio
é dada por:
Como o raio aqui é 1, a fórmula fica:
Então, a área do nosso círculo é exatamente
.
Passo 3
Agora, para mostrar que
está entre 3 e 4, vamos comparar a área do círculo com áreas de figuras mais simples que formam ou se encaixam no círculo, como polígonos regulares.
Passo 4
Vamos começar desenhando um hexágono regular (um polígono de 6 lados) inscrito no círculo de raio 1. A área desse hexágono pode ser calculada e sabemos que ela é menor que a área do círculo. Calculando, encontramos que a área do hexágono é:
Então, temos que:
Passo 5
Agora, desenhamos um polígono com mais lados, por exemplo, um dodecágono (12 lados) inscrito no mesmo círculo. A área desse polígono é maior que a do hexágono, mas ainda menor que a área do círculo. Calculando, vemos que a área do dodecágono é aproximadamente 3,0. Então:
Passo 6
Por outro lado, se considerarmos um polígono que circunscreve o círculo, como um quadrado com lados tangentes ao círculo, a área desse quadrado é maior que a área do círculo. A área do quadrado com lado
(já que o raio é 1) é:
Então:
Resposta
Com isso, mostramos que: