Em cada integral sguinte formular uma lei de recorrência ao índice de ordem anterior e avaliá-la para n=3.
© In(x)=integral t g^n x d x, n in Z, n >= 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma lei de recorrência para a integral , onde é um número inteiro não negativo. Isso significa que vamos expressar em termos de . Para isso, vamos usar o método da integração por partes, que é uma técnica super útil em cálculo para integrar produtos de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a integração por partes. A fórmula é:
integral u , dv = u , v - integral v , du
Aqui, precisamos identificar quais partes da nossa integral u = t e dv = g^n(x) , dx serão du = dt e v = integral g^n(x) , dx = g^n+1(x)n+1 (assumindo que g(x) neq 0) e . Vamos escolher:
Agora, vamos derivar e integrar :

Passo 3

Aplicando a fórmula da integração por partes:
In(x) = u , v - integral v , du = t cdot g^n+1(x)n+1 - integral g^n+1(x)n+1 , dt
Mas aqui, percebemos que In(x) = t , g^n+1(x)n+1 - 1n+1 In-1(x) pode depender de , então precisamos ajustar nossa escolha. Supondo que para simplificar (ou outra função onde a derivada é proporcional à função), podemos continuar. No entanto, como não temos detalhes específicos de , vamos assumir que podemos relacionar com .
Assim, podemos escrever uma relação de recorrência:

Passo 4

Agora, vamos avaliar essa relação para I3(x) = t , g^4(x)4 - 14 I2(x) :
Portanto, para encontrar , a gente precisa saber o valor de , e assim por diante, criando uma sequência até chegar em uma integral que conhecemos ou que seja mais fácil de resolver.

Resposta

A lei de recorrência para I3(x) = t , g^4(x)4 - 14 I2(x) é:

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