Em cada integral sguinte formular uma lei de recorrência ao índice de ordem anterior e avaliá-la para
.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma lei de recorrência para a integral
, onde
é um número inteiro não negativo. Isso significa que vamos expressar
em termos de
. Para isso, vamos usar o método da integração por partes, que é uma técnica super útil em cálculo para integrar produtos de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona a integração por partes. A fórmula é:
Aqui, precisamos identificar quais partes da nossa integral
serão
e
. Vamos escolher:
Agora, vamos derivar
e integrar
:
Passo 3
Aplicando a fórmula da integração por partes:
Mas aqui, percebemos que
pode depender de
, então precisamos ajustar nossa escolha. Supondo que
para simplificar (ou outra função onde a derivada é proporcional à função), podemos continuar. No entanto, como não temos detalhes específicos de
, vamos assumir que podemos relacionar
com
.
Assim, podemos escrever uma relação de recorrência:
Passo 4
Agora, vamos avaliar essa relação para
:
Portanto, para encontrar
, a gente precisa saber o valor de
, e assim por diante, criando uma sequência até chegar em uma integral que conhecemos ou que seja mais fácil de resolver.
Resposta
A lei de recorrência para
é: