Determinar a posição do centro de massa de um semidisco circular de raio a > 0.

Passo 1

Vamos resolver o problema de determinar a posição do centro de massa de um semidisco circular com raio a > 0. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo do centro de massa para corpos bidimensionais.

Passo 2

Primeiro, vamos definir um sistema de coordenadas. Vamos posicionar o semidisco no plano XY, de forma que o diâmetro do semidisco esteja sobre o eixo X e a parte semicircular fique acima do eixo X.

Passo 3

Observando a simetria do semidisco em relação ao eixo Y, percebemos que a coordenada x do centro de massa será zero, ou seja, . Isso porque as partes do semidisco à esquerda e à direita do eixo Y se cancelam mutuamente.

Passo 4

Agora, vamos calcular a coordenada y do centro de massa. Para uma semicircunferência, a fórmula para a coordenada é:
Essa fórmula é derivada integrando as posições de todos os pontos do semidisco em relação ao eixo X e dividindo pela área total do semidisco.

Resposta

A posição do centro de massa do semidisco circular de raio a é .

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