Calcular, usando o Teorema Fundamental do Cálculo, a derivada de cada função seguinte:
(a) f(x)=integral0^x cos (t^2) d t, forall x in R

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função que envolve uma integral: . A matéria que vamos usar aqui é o Teorema Fundamental do Cálculo, que conecta integrais e derivadas. O que a gente precisa fazer é achar a derivada dessa função .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que diz o Teorema Fundamental do Cálculo. Ele basicamente nos diz que se temos uma função definida como uma integral com variável limite superior, como , então a derivada dessa função em relação a é simplesmente . Ou seja, .

Passo 3

Aplicando isso ao nosso caso, nossa função está definida como a integral de de 0 até . Segundo o Teorema Fundamental do Cálculo, a derivada de em relação a será a própria função dentro da integral avaliada em .

Resposta

Portanto, a derivada de f'(x) = cos(x^2) é:

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