Para cada inteiro , define-se o módulo ou valor absoluto de , como sendo o inteiro
Mostre (prove) que se a e b são inteiros, então
(a) odot|-m|=|m|;
(b) odot|m| >= 0 ;|m|=0 Leftrightarrow m=0;
(c) -|m| cdot|n|=|m n|;
(d) because|m+n| <=|m|+|n| [Sugestão: mostre que |m+n|^2 <=(|m|+|n|)^2];
(e) because|m| <= n Leftrightarrow-n <= m <= n.
Passo 1
O enunciado define o valor absoluto de um inteiro
O conteúdo aqui é provar propriedades básicas de valor absoluto em (\mathbb{Z}] usando análise de casos e desigualdades elementares.
Passo 2
Provar que lvert -mrvert = lvert mrvert.
Considere os dois casos para m:
Se m>= 0, então -m<= 0. Pela definição,
lvert -mrvert = -(-m) = m = lvert mrvert
Se m<0, então -m>0. Pela definição,
lvert -mrvert = -m = lvert mrvert
Em ambos os casos obtemos lvert -mrvert = lvert mrvert.
Passo 3
Provar que lvert mrvert >= 0 e lvert mrvert = 0 iff m=0.
Pela definição, lvert mrvert é m ou -m, ambos não negativos, logo
lvert mrvert >= 0
Além disso,
Se m=0, então lvert mrvert = lvert 0rvert = 0.
Se lvert mrvert = 0, então ou m=0 ou -m=0; em ambos os casos m=0.
Portanto lvert mrvert = 0 acontece exatamente quando m=0.
Passo 4
Provar que lvert mrvert cdot lvert nrvert = lvert m,nrvert.
Fazemos análise de casos segundo o sinal de m e n:
Se m>=0 e n>=0, então lvert mrvert = m, lvert nrvert = n e m,n>=0, logo
lvert mrvert,lvert nrvert = m,n = lvert m,nrvert
Se m>=0 e n<0, então lvert mrvert = m, lvert nrvert = -n e m,n<=0, logo
Assim, em todos os casos vale lvert mrvert,lvert nrvert = lvert m,nrvert.
Passo 5
Provar a desigualdade triangular lvert m+nrvert <= lvert mrvert + lvert nrvert.
Observe que ambos os lados são não negativos, então basta mostrar o quadrado: