because Para cada inteiro m, define-se o módulo ou valor absoluto de m, como sendo o inteiro
|m|=ll m & se m >= 0 -m & se m<0
Mostre (prove) que se a e b são inteiros, então
(a) odot|-m|=|m|;
(b) odot|m| >= 0 ;|m|=0 Leftrightarrow m=0;
(c) -|m| cdot|n|=|m n|;
(d) because|m+n| <=|m|+|n| [Sugestão: mostre que |m+n|^2 <=(|m|+|n|)^2];
(e) because|m| <= n Leftrightarrow-n <= m <= n.

Passo 1

O enunciado define o valor absoluto de um inteiro
O conteúdo aqui é provar propriedades básicas de valor absoluto em (\mathbb{Z}] usando análise de casos e desigualdades elementares.

Passo 2

Provar que lvert -mrvert = lvert mrvert.
Considere os dois casos para m:
  1. Se m>= 0, então -m<= 0. Pela definição,
lvert -mrvert = -(-m) = m = lvert mrvert
  1. Se m<0, então -m>0. Pela definição,
lvert -mrvert = -m = lvert mrvert
Em ambos os casos obtemos lvert -mrvert = lvert mrvert.

Passo 3

Provar que lvert mrvert >= 0 e lvert mrvert = 0 iff m=0.
Pela definição, lvert mrvert é m ou -m, ambos não negativos, logo
lvert mrvert >= 0
Além disso,
  • Se m=0, então lvert mrvert = lvert 0rvert = 0.
  • Se lvert mrvert = 0, então ou m=0 ou -m=0; em ambos os casos m=0.
    Portanto lvert mrvert = 0 acontece exatamente quando m=0.

Passo 4

Provar que lvert mrvert cdot lvert nrvert = lvert m,nrvert.
Fazemos análise de casos segundo o sinal de m e n:
  1. Se m>=0 e n>=0, então lvert mrvert = m, lvert nrvert = n e m,n>=0, logo
lvert mrvert,lvert nrvert = m,n = lvert m,nrvert
  1. Se m>=0 e n<0, então lvert mrvert = m, lvert nrvert = -n e m,n<=0, logo
lvert mrvert,lvert nrvert = mcdot(-n) = -(m,n) = lvert m,nrvert
  1. Se m<0 e n>=0, argumento análogo ao caso 2 dá
lvert mrvert,lvert nrvert = (-m),n = -(m,n) = lvert m,nrvert
  1. Se m<0 e n<0, então lvert mrvert = -m, lvert nrvert = -n e m,n>=0, logo
lvert mrvert,lvert nrvert = (-m)(-n) = m,n = lvert m,nrvert
Assim, em todos os casos vale lvert mrvert,lvert nrvert = lvert m,nrvert.

Passo 5

Provar a desigualdade triangular lvert m+nrvert <= lvert mrvert + lvert nrvert.
Observe que ambos os lados são não negativos, então basta mostrar o quadrado:
lvert m+nrvert^2 = (m+n)^2 = m^2 + 2,m,n + n^2
Como m,n <= lvert mrvert,lvert nrvert, temos
(m+n)^2 <= m^2 + 2,lvert mrvert,lvert nrvert + n^2 = (lvert mrvert + lvert nrvert)^2
Tomando raiz quadrada (mantendo a direção da desigualdade) resulta
lvert m+nrvert <= lvert mrvert + lvert nrvert

Passo 6

Provar que lvert mrvert <= n iff -n <= m <= n.
Rightarrow” Se lvert mrvert <= n, então -n <= lvert mrvert <= n. Mas -lvert mrvert <= m <= lvert mrvert é sempre verdade, então
-n <= -lvert mrvert <= m <= lvert mrvert <= n
implica -n <= m <= n.
Leftarrow” Se -n <= m <= n, então m <= n e -m <= n. Em cada caso vemos que
lvert mrvert = max(m,-m) <= n,
logo lvert mrvert <= n.

Resposta

a) lvert -mrvert = lvert mrvert
b) lvert mrvert >= 0 e lvert mrvert = 0 iff m=0
c) lvert mrvert,lvert nrvert = lvert m,nrvert
d) lvert m+nrvert <= lvert mrvert + lvert nrvert
e) lvert mrvert <= n iff -n <= m <= n

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