Determine os valores reais de k, em cada um dos casos, tais que o sistema linear dado tenha:
rlk x+y+z & =1 x+k y+z & =1 x+y+k z & =1,

Passo 1

O enunciado pede os valores reais de k para que o sistema
k x + y + z = 1, x + k y + z = 1, x + y + k z = 1
tenha solução única, nenhuma solução ou infinitas soluções. O conteúdo da matéria envolve representação matricial de sistemas lineares, cálculo de determinante e análise de existência e unicidade de soluções usando o determinante.

Passo 2

Escrevemos o sistema na forma matricial
A,x = b,
onde
A = k & 1 & 1 1 & k & 1 1 & 1 & k , x = x y z, b = 111
A existência e unicidade de solução dependem de det(A): se det(A)neq0, há solução única; se det(A)=0, ou há infinitas soluções (caso b pertença à imagem de A) ou nenhuma (caso contrário).

Passo 3

Calculamos o determinante de A. Observando que A tem autovalores k+2 (multiplicidade 1) e k-1 (multiplicidade 2), obtemos
det(A) = (k+2),(k-1)^2

Passo 4

Se kneq1 e kneq -2, então det(A)neq0 e o sistema tem solução única.

Passo 5

Se k=1, então det(A)=0 e a matriz torna-se
A = 1 & 1 & 1 1 & 1 & 1 1 & 1 & 1 ,
de posto 1. As três equações coincidem com
x+y+z = 1,
e b está no espaço-coluna de A. Logo, o sistema é compatível indeterminado (infinitas soluções).

Passo 6

Se k=-2, então det(A)=0 e somando as três equações do sistema obtemos
(-2+1+1)x + (1-2+1)y + (1+1-2)z = 3 Longrightarrow 0 = 3,
que é impossível. Portanto, o sistema é incompatível (nenhuma solução).

Resposta

Para kneq1 e kneq-2: solução única.
Para k=1: infinitas soluções.
Para k=-2: nenhuma solução.

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