Determine a condição que os números reais a, b e c devem satisfazer para que, em cada um dos casos abaixo, o sistema dado tenha solução.
x-2 y+4 z & =a 2 x+3 y-z & =b, 3 x+y+2 z & =c

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear com incógnitas e parâmetros reais :
O conteúdo necessário é o teste de compatibilidade de sistemas lineares via determinante da matriz dos coeficientes (teorema de Rouché–Frobenius).

Passo 2

Escrevemos a matriz dos coeficientes e o vetor de termos independentes :
Para o sistema ser compatível, precisamos de . Se , então e o sistema é sempre solucionável (e único).

Passo 3

Calculamos o determinante de A por expansão:
det(A) =1cdotdet3 & -11 & 2 -(-2)cdotdet2 & -13 & 2 +4cdotdet2 & 33 & 1
Agora cada menor:
det3 & -11 & 2=3cdot2-(-1)cdot1=7,
det2 & -13 & 2=2cdot2-(-1)cdot3=7,
det2 & 33 & 1=2cdot1-3cdot3=-7
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det(A)=1cdot7 +2cdot7 +4cdot(-7)=7+14-28=-7neq0

Passo 4

Como det(A)=-7neq0, temos rank(A)=3. Qualquer matriz aumentada [Amid d] também terá posto 3, pois não há degrau adicional de dependência linear. Pelo teorema de Rouché–Frobenius, o sistema é compatível e determinado para todos os valores de a,b,c.

Resposta

O sistema tem solução (única) para quaisquer a,b,cinR.

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