Para cada inteiro a, definimos o valor absoluto a, como sendo |a|=\left\{\begin{array}{c}a \text { se } a \geq 0 \\\\ -a \text { se } a<0\end{array}\right.. De modo que para cada a, b inteiros prove que:
(a) |a| \geq 0 e |a|=0 \Leftrightarrow a=0

Passo 1

O enunciado define, para cada inteiro a\), \[|a| = \begin{cases} a & \text{se }a \ge 0,\\\\ -a & \text{se }a < 0, \end{cases}
e pede para provar duas propriedades básicas do valor absoluto:
  1. |a|\ge0\]. 2. \(|a|=0\iff a=0.

Passo 2

Provar que |a|\ge0.
  • Se a\ge0, então por definição |a|=a. Como a\ge0, conclui-se |a|\ge0.
  • Se a<0, então por definição |a|=-a. Mas a<0 implica -a>0. Logo |a|=-a>0, em particular |a|\ge0.

Passo 3

Provar que |a|=0\implies a=0.
  • Se a\ge0, então |a|=a. Se além disso |a|=0, obtemos a=0.
  • Se a<0, então |a|=-a. Se |a|=0, então -a=0, de onde a=0.

Passo 4

Provar que a=0\implies|a|=0.
Se a=0, então cai no caso a\ge0 da definição e temos |a|=a=0.

Resposta

Concluímos que, para todo inteiro a, vale
|a|\ge0 \quad\text{e}\quad |a|=0\iff a=0.

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