Para cada inteiro a, definimos o valor absoluto a, como sendo |a|=\left\{\begin{array}{c}a \text { se } a \geq 0 \\\\ -a \text { se } a<0\end{array}\right.. De modo que para cada a, b inteiros prove que:
|-a|=|a|

Passo 1

O enunciado define o valor absoluto de um inteiro a\) por \[|a| = \begin{cases} a & \text{se } a \ge 0,\\\\ -\,a & \text{se } a<0, \end{cases}
e pede para provar que para todo inteiro a\] vale \[|-a| = |a|.\] Vamos usar essa definição e analisar separadamente os dois casos possíveis para \(a.

Passo 2

Caso a\ge 0.
Então |a|=a. Além disso, -a\le 0, com duas subpossibilidades:
  1. Se a>0, então -a<0 e, pela definição, |-a| = -(-a) = a.
  2. Se a=0, então -a=0 e, pela definição, |-a| = -a = 0 = a.
Em ambos os subcasos obtemos |-a|=a=|a|.

Passo 3

Caso a<0.
Então |a| = -a pela definição. Note que agora -a>0, logo
|-a| = -a.
Portanto |-a| = -a = |a|.

Resposta

Em todas as situações chegamos a |-a| = |a|, como era para provar.

Exercícios relacionados