Prove que:
(a) se
, então
(a) se
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, em
, se
então
.
Conteúdo envolvido: propriedades da ordem em , em particular o axioma da tricotomia e a compatibilidade da multiplicação com a ordem.
Conteúdo envolvido: propriedades da ordem em
Passo 2
Como
e
, pelo axioma da tricotomia temos duas possibilidades mutuamente exclusivas:
–
–
–
–
Passo 3
Caso
:
Nesse caso, pela compatibilidade da ordem com a multiplicação, o produto de dois números positivos é positivo. Como , segue que
Nesse caso, pela compatibilidade da ordem com a multiplicação, o produto de dois números positivos é positivo. Como
isto é,
Passo 4
Caso
:
Então . Aplicando o resultado do passo anterior a
, obtemos
Então
Mas
,
portanto
portanto
Resposta
Para todo
, se
então
.