Prove que:
(a) se x \neq 0, então x^{2}>0, \forall x \in \mathbb{Z}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, em \mathbb{Z}, se x \neq 0 então x^2>0.
Conteúdo envolvido: propriedades da ordem em \mathbb{Z}, em particular o axioma da tricotomia e a compatibilidade da multiplicação com a ordem.

Passo 2

Como x\in\mathbb{Z} e x\neq0, pelo axioma da tricotomia temos duas possibilidades mutuamente exclusivas:
x>0
x<0

Passo 3

Caso x>0:
Nesse caso, pela compatibilidade da ordem com a multiplicação, o produto de dois números positivos é positivo. Como x>0, segue que
x\cdot x>0\cdot x=0,
isto é,
x^2>0.

Passo 4

Caso x < 0:
Então -x > 0. Aplicando o resultado do passo anterior a -x, obtemos
(-x)^2 > 0.
Mas (-x)^2 = (-1 \cdot x) \cdot (-1 \cdot x) = (-1)^2 \cdot x^2 = 1 \cdot x^2 = x^2,
portanto
x^2 > 0.

Resposta

Para todo x\in\mathbb{Z}, se x\neq0 então x^2>0.

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