Para quaisquer inteiros a, b e c, prove que:
(a+b)^{2}=a^{2}+2 a b+b^{2}

Passo 1

O enunciado pede para provar que, para quaisquer inteiros a, b e c, vale a identidade
(a+b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}.
Aqui o conteúdo é álgebra elementar sobre inteiros, usando a definição de potência e a propriedade distributiva da multiplicação sobre a adição.

Passo 2

Pela definição de potência com expoente 2, temos
(a+b)^{2} = (a+b)\,(a+b).

Passo 3

Agora aplicamos a propriedade distributiva de forma que cada termo da soma (a+b) multiplica a soma (a+b):
(a+b)\,(a+b) = a\,(a+b) \;+\; b\,(a+b).

Passo 4

Distribuindo em cada parcela:
a\,(a+b) = a\cdot a + a\cdot b = a^{2} + ab,
b\,(a+b) = b\cdot a + b\cdot b = ab + b^{2}.

Passo 5

Somando as duas expressões e usando a comutatividade de ab = ba, obtemos
a^{2} + ab + ab + b^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}.

Resposta

(a+b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}.

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