Seja T: \mathbb{R}^{3} \longrightarrow \mathbb{R}^{3} o operador cuja matriz na base canônica é dada por
A=\left[\begin{array}{ccc} 2 & 0 & 1 \\\\ 0 & -3 & 1 \\\\ 0 & 0 & -3 \end{array}\right]
a) (1,0 pt) Encontre o polinômio característico de T.
b) ( 1,0 \mathrm{pt} ) Encontre o polinômio minimal de T.
c) ( 1,0 \mathrm{pt} ) T é diagonalizável?
Solução: a) P_{A}(\lambda)=\left|\begin{array}{ccc}2-\lambda & 0 & 1 \\\\ 0 & -3-\lambda & 1 \\\\ 0 & 0 & -3-\lambda\end{array}\right|=(2-\lambda)(-3-\lambda)^{2}
b) Temos duas possibilidades para o polinômio minimal:
m_{1}(\lambda)=(2-\lambda)(-3-\lambda) ou m_{2}(\lambda)=(2-\lambda)(-3-\lambda)^{2}
m_{1}(A)=\left[\begin{array}{ccc}0 & 0 & -1 \\\\ 0 & 5 & -1 \\\\ 0 & 0 & 5\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}-5 & 0 & -1 \\\\ 0 & 0 & -1 \\\\ 0 & 0 & 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & -5 \\\\ 0 & 0 & 0\end{array}\right]
Logo o polinômio minimal de A é igual ao polinômio característico.
c) T não é diagonalizável pois seu polinômio minimal possui fator com multiplicidade maior que 1.

Passo 1

O enunciado dá o operador linear T:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3} cuja matriz na base canônica é
A=\begin{pmatrix} 2 & 0 & 1\\\\ 0 & -3 & 1\\\\ 0 & 0 & -3 \end{pmatrix}
e pede: (a) o polinômio característico, (b) o polinômio minimal e (c) se T é diagonalizável. Para isso vamos usar que, em matrizes triangulares, o característico é o produto dos termos da diagonal e que o grau de repetição de cada fator no minimal coincide com o tamanho do maior bloco de Jordan.

Passo 2

Para encontrar o polinômio característico basta calcular
\det(A-\lambda I) =\det\begin{pmatrix} 2-\lambda & 0 & 1\\\\ 0 & -3-\lambda & 1\\\\ 0 & 0 & -3-\lambda \end{pmatrix} =(2-\lambda)\,(-3-\lambda)^{2}.
Em geral escrevemos
P_{T}(\lambda)=(\lambda-2)(\lambda+3)^{2}.

Passo 3

O polinômio minimal m_{T}(\lambda) deve anular A e ter cada fator (\lambda-\lambda_i) elevado, no máximo, ao tamanho do maior bloco de Jordan correspondente. Aqui o valor próprio \lambda=2 aparece uma vez (bloco de tamanho 1) e \lambda=-3 aparece em um bloco de tamanho 2 (há um “1” na posição (2,3)). Logo
m_{T}(\lambda)=(\lambda-2)(\lambda+3)^{2}.

Passo 4

Um operador é diagonalizável se e somente se seu polinômio minimal for produto de raízes simples. Como em
m_{T}(\lambda)=(\lambda-2)(\lambda+3)^{2}
o fator (\lambda+3) repete-se, concluímos que T não é diagonalizável.

Resposta

(a) \displaystyle P_{T}(\lambda)=(\lambda-2)(\lambda+3)^{2}.
(b) \displaystyle m_{T}(\lambda)=(\lambda-2)(\lambda+3)^{2}.
(c) T não é diagonalizável.

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