Para cada inteiro positivo n, seja f(n) o número de soluções ( x, y ) inteiras de x^wed>= 2+y^wed>= 2=n. Por exemplo, f(5)=8 pois há 8 soluções inteiras de x^wed>= 2+y^wed>= 2=5 :
(x, y)=(1,2)(x, y)=(-1,2)(x, y)=(1,-2)(x, y)=(-1,-2)
(x, y)=(2,1)(x, y)=(-2,1)(x, y)=(2,-1)(x, y)=(-2,-1)
Qual o valor do seguinte limite?
lim n infty(f(0)+f(1)+f(2)+f(3)+cdots+f(n)) / pi n

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função f(n) que conta quantas soluções inteiras existem para a equação x^2 + y^2 = n . Por exemplo, para n = 5 , há 8 soluções. A pergunta quer que a gente calcule o limite:
limn to infty f(0) + f(1) + f(2) + cdots + f(n)pi n
Para resolver isso, vamos precisar entender sobre contagem de soluções de equações quadráticas e usar alguns conceitos de análise assintótica.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar f(n) , que é o número de pares inteiros (x, y) que satisfazem x^2 + y^2 = n . Isso está relacionado com a representação de números como soma de dois quadrados. Sabemos que, para cada solução positiva (x, y) , existem 3 outras soluções pelas simetrias dos quadrados, ou seja, (-x, y) , (x, -y) , e (-x, -y) .

Passo 3

Além disso, se x = 0 ou y = 0 , a simetria reduz o número de soluções. Por exemplo, se x = 0 , então y = pm raizn , dando apenas 2 soluções em vez de 4. Mas, para a maioria dos n , especialmente grandes, essas contribuições são pequenas comparadas ao total de soluções.

Passo 4

Agora, vamos pensar na soma S(n) = f(0) + f(1) + f(2) + cdots + f(n) . Essa soma conta todas as soluções inteiras (x, y) para todos os k de 0 até n na equação x^2 + y^2 = k . Geometricamente, isso representa o número de pontos com coordenadas inteiras dentro ou sobre o círculo de raio raizn .

Passo 5

Para grandes valores de n , a densidade de pontos inteiros em um círculo de raio raizn é aproximadamente a área do círculo, que é pi n . Portanto, esperamos que:
S(n) approx pi n
Isso sugere que o limite dado será próximo de 1.

Passo 6

Formalmente, o número de pontos inteiros dentro de um círculo de raio raizn é aproximadamente a área do círculo mais um termo de erro que é menor que a fronteira do círculo, ou seja, proporcional a raizn . Portanto:
S(n) = pi n + o(n)
Onde o(n) representa termos que crescem mais devagar que n .

Passo 7

Dividindo S(n) por pi n :
S(n)pi n = pi n + o(n)pi n = 1 + o(n)pi n
Quando n tende ao infinito, o(n)pi n tende a 0, então:
limn to infty S(n)pi n = 1

Resposta

O limite é igual a 1.

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