Para cada inteiro positivo
, seja
o número de soluções (
) inteiras de
. Por exemplo,
pois há 8 soluções inteiras de
:
Qual o valor do seguinte limite?
Qual o valor do seguinte limite?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função
que conta quantas soluções inteiras existem para a equação
. Por exemplo, para
, há 8 soluções. A pergunta quer que a gente calcule o limite:
Para resolver isso, vamos precisar entender sobre contagem de soluções de equações quadráticas e usar alguns conceitos de análise assintótica.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar
, que é o número de pares inteiros
que satisfazem
. Isso está relacionado com a representação de números como soma de dois quadrados. Sabemos que, para cada solução positiva
, existem 3 outras soluções pelas simetrias dos quadrados, ou seja,
,
, e
.
Passo 3
Além disso, se
ou
, a simetria reduz o número de soluções. Por exemplo, se
, então
, dando apenas 2 soluções em vez de 4. Mas, para a maioria dos
, especialmente grandes, essas contribuições são pequenas comparadas ao total de soluções.
Passo 4
Agora, vamos pensar na soma
. Essa soma conta todas as soluções inteiras
para todos os
de
até
na equação
. Geometricamente, isso representa o número de pontos com coordenadas inteiras dentro ou sobre o círculo de raio
.
Passo 5
Para grandes valores de
, a densidade de pontos inteiros em um círculo de raio
é aproximadamente a área do círculo, que é
. Portanto, esperamos que:
Isso sugere que o limite dado será próximo de 1.
Passo 6
Formalmente, o número de pontos inteiros dentro de um círculo de raio
é aproximadamente a área do círculo mais um termo de erro que é menor que a fronteira do círculo, ou seja, proporcional a
. Portanto:
Onde
representa termos que crescem mais devagar que
.
Passo 7
Dividindo
por
:
Quando
tende ao infinito,
tende a 0, então:
Resposta
O limite é igual a 1.