Encontre y^prime e y^prime prime.
y=ln (x+raiz1+x^2)

Passo 1

O enunciado pede as derivadas primeira e segunda de
y = lnl(x + raiz1+x^2r)
Vamos usar a regra da cadeia e a derivada de ln(u) e de raizv.

Passo 2

Defina u = x + raiz1+x^2. Então
y = ln(u)
e
dudx = 1 + 12raiz1+x^2cdot 2x = 1 + xraiz1+x^2
Pela regra da cadeia,
y' = du/dxu = 1 + tfracxraiz1+x^2,x + raiz1+x^2,

Passo 3

Para simplificar y', multiplique numerador e denominador por raiz1+x^2:
y' = raiz1+x^2 + xl(x + raiz1+x^2r),raiz1+x^2 = 1raiz1+x^2

Passo 4

Agora calcule y'' derivando
y' = (1+x^2)^-tfrac12
Pela regra da cadeia,
y'' = -tfrac12,(1+x^2)^-tfrac32cdot 2x = -,x,(1+x^2)^-tfrac32

Resposta

y' = 1raiz1+x^2,
y'' = -x(1+x^2)^3/2

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