Cada item abaixo apresenta um conjunto
sobre o qual definimos uma operação e um subconjunto
do conjunto dado. Em cada caso, verifique se
é uma parte fechada de
em relação à operação dada.
Passo 1
O enunciado apresenta o conjunto
com a operação definida como o produto usual (denotado por
) e o subconjunto
Queremos verificar se
é fechado em relação à multiplicação, ou seja, se para quaisquer
temos
.
Passo 2
Lembrando a definição de subconjunto fechado: Um subconjunto
é fechado sob a operação
se, sempre que
e
, então
.
Passo 3
Sejam
. Por definição de
, existem
tais que
Passo 4
Calculamos o produto:
Como
, segue que
é um número par, logo
.
Resposta
Sim,
é fechado em relação à multiplicação.