Cada item abaixo apresenta um conjunto S sobre o qual definimos uma operação e um subconjunto X do conjunto dado. Em cada caso, verifique se X é uma parte fechada de S em relação à operação dada.
S=Z, *=times e X=x in Z mid x é par é

Passo 1

O enunciado apresenta o conjunto S=Z com a operação definida como o produto usual (denotado por times) e o subconjunto
X = ,xinZmid x é par é
Queremos verificar se X é fechado em relação à multiplicação, ou seja, se para quaisquer x,yin X temos xtimes yin X.

Passo 2

Lembrando a definição de subconjunto fechado: Um subconjunto Xsubseteq S é fechado sob a operação * se, sempre que xin X e yin X, então x* yin X.

Passo 3

Sejam x,yin X. Por definição de X, existem k,linZ tais que
x = 2k e y = 2l

Passo 4

Calculamos o produto:
x times y = (2k) times (2l) = 4kl = 2l(2klr)
Como 2kl in Z, segue que x times y é um número par, logo x times y in X.

Resposta

Sim, X é fechado em relação à multiplicação.

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