Cada item abaixo apresenta um conjunto S sobre o qual definimos uma operação e um subconjunto X do conjunto dado. Em cada caso, verifique se X é uma parte fechada de S em relação à operação dada.
S=Z, *=times e X=x in Z mid x é mú<iplo de m, m in Zéú

Passo 1

O enunciado apresenta o conjunto S = Z com a operação * sendo a multiplicação usual, e o subconjunto
X = ,x in Z mid x é mú<iplo de m, éú
onde minZ é fixo. Queremos verificar se X é fechado em relação a *.

Passo 2

Para X ser fechado em relação a *, deve valer:
forall,x,yin X, x * y in X

Passo 3

Sejam x,yin X. Então existem k,linZ tais que
x = m,k e y = m,l
Logo,
x * y = (m,k),(m,l) = m,(m,k,l)
Como m,k,linZ, o produto x*y é múltiplo de m e, portanto, x*yin X.

Resposta

Sim, X é fechado em relação à multiplicação em Z.

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