Cada item abaixo apresenta um conjunto S sobre o qual definimos uma operação e um subconjunto X do conjunto dado. Em cada caso, verifique se X é uma parte fechada de S em relação à operação dada.
S=Z, *=+ e X=x in Z mid x é mú<iplo de m, m in Zéú

Passo 1

O enunciado define o conjunto
S = Z,
a operação binária “ +” em S e o subconjunto
X = ,x in Zmid x é mú<iplo de m, éú
onde m é um inteiro fixo. O conteúdo aqui é fechamento (closure) de um subconjunto em relação a uma operação. Vamos verificar se sempre que a,bin X segue-se que a+bin X.

Passo 2

Lembrando a definição de fechamento:
X é fechada em relação a + se, para quaisquer a,bin X, tivermos a+bin X.”

Passo 3

Tomemos a,bin X. Por definição de X existem inteiros k e l tais que
a = k,m e b = l,m
Então
a + b = k,m + l,m = (k + l),m
Como k+l é um inteiro, concluímos que a+b é múltiplo de m, ou seja, a+bin X.

Passo 4

Mostramos que a soma de quaisquer dois múltiplos de m é outro múltiplo de m. Logo X satisfaz a condição de fechamento sob adição.

Resposta

X é parte fechada de S em relação à operação +.

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