Cada item abaixo apresenta um conjunto
sobre o qual definimos uma operação e um subconjunto
do conjunto dado. Em cada caso, verifique se
é uma parte fechada de
em relação à operação dada.
Passo 1
O enunciado define o conjunto
a operação binária “
” em
e o subconjunto
onde
é um inteiro fixo. O conteúdo aqui é fechamento (closure) de um subconjunto em relação a uma operação. Vamos verificar se sempre que
segue-se que
.
Passo 2
Lembrando a definição de fechamento:
“ é fechada em relação a
se, para quaisquer
, tivermos
.”
“
Passo 3
Tomemos
. Por definição de
existem inteiros
e
tais que
Então
Como
é um inteiro, concluímos que
é múltiplo de
, ou seja,
.
Passo 4
Mostramos que a soma de quaisquer dois múltiplos de
é outro múltiplo de
. Logo
satisfaz a condição de fechamento sob adição.