Cada item abaixo apresenta um conjunto
sobre o qual definimos uma operação e um subconjunto
do conjunto dado. Em cada caso, verifique se
é uma parte fechada de
em relação à operação dada.
Passo 1
O enunciado define
com a operação de soma e
Queremos verificar se
é fechada em relação à soma, isto é, se para quaisquer
vale
.
Passo 2
Lembrando a definição de número primo: um inteiro
é primo se
e seus únicos divisores positivos são
e
. Entre os primos, apenas
é par; todos os outros são ímpares.
Passo 3
Sejam
dois primos distintos de
. Então
e
são ímpares e
logo
é um número par maior que
e, portanto, composto. Assim, nem sempre a soma de dois primos está em
.
Passo 4
Contraexemplo concreto: tome
e
, ambos em
. Então
e
não é primo (possui divisores como
e
), logo
.