Cada item abaixo apresenta um conjunto S sobre o qual definimos uma operação e um subconjunto X do conjunto dado. Em cada caso, verifique se X é uma parte fechada de S em relação à operação dada.
S=Z, *=+ e X=x in Z mid x é primo é

Passo 1

O enunciado define S=Z com a operação de soma e
X = ,xinZmid x é primoé
Queremos verificar se X é fechada em relação à soma, isto é, se para quaisquer p,qin X vale p+qin X.

Passo 2

Lembrando a definição de número primo: um inteiro p é primo se p>1 e seus únicos divisores positivos são 1 e p. Entre os primos, apenas 2 é par; todos os outros são ímpares.

Passo 3

Sejam p,qin X dois primos distintos de 2. Então p e q são ímpares e
p+q = ímpar + ímpar = par > 2, íí
logo p+q é um número par maior que 2 e, portanto, composto. Assim, nem sempre a soma de dois primos está em X.

Passo 4

Contraexemplo concreto: tome p=3 e q=5, ambos em X. Então
p+q = 3+5 = 8,
e 8 não é primo (possui divisores como 2 e 4), logo 8notin X.

Resposta

X não é parte fechada de S em relação à operação +.

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