Cada item abaixo apresenta um conjunto S sobre o qual definimos uma operação e um subconjunto X do conjunto dado. Em cada caso, verifique se X é uma parte fechada de S em relação à operação dada.
S=Z, *=+ e X=x in Z mid mdc(x, 7)=1

Passo 1

O enunciado dá o conjunto S=Z com a operação * sendo a soma usual, isto é,
x * y = x + y,
e o subconjunto
X = ,xinZmid gcd(x,7)=1
Precisamos verificar se X é fechado sob a adição, ou seja, se para quaisquer a,bin X vale a+bin X.

Passo 2

Lembrando que “fechado” significa que a operação em dois elementos de X produz sempre um elemento de X. Aqui, isso equivale a dizer:
se gcd(a,7)=1 e gcd(b,7)=1, então deve ocorrer gcd(a+b,7)=1 ã

Passo 3

Note que gcd(a+b,7) pode ser maior que 1 exatamente quando 7 divide a+b. Mesmo que nem a nem b sejam múltiplos de 7 (logo gcd(a,7)=gcd(b,7)=1), pode acontecer de aequiv rpmod7 e bequiv -rpmod7, fazendo a+bequiv0pmod7.

Passo 4

Basta um contraexemplo para mostrar que não é fechado. Tome a=2 e b=5.
gcd(2,7)=1, gcd(5,7)=1,
porém
2+5=7,
e
gcd(7,7)=7neq1
Logo a,bin X mas a+bnotin X.

Resposta

X não é parte fechada de S em relação à operação +.

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