Cada item abaixo apresenta um conjunto
sobre o qual definimos uma operação e um subconjunto
do conjunto dado. Em cada caso, verifique se
é uma parte fechada de
em relação à operação dada.
Passo 1
O enunciado define
com a operação de multiplicação
, e o subconjunto
Queremos verificar se, para quaisquer
, o produto
também pertence a
.
Passo 2
A condição de parte fechada exige que, sempre que
e
, tenha-se
isto é,
.
Passo 3
Como
temos
e
. O número
é primo, logo, se
divides
, então
deve dividir
ou
. Mas isso contradiz
e
. Assim,
não divide
e
ou seja,
.
Passo 4
Como fechamos
sob a multiplicação, concluímos que
é parte fechada de
.
Resposta
Sim,
é fechada em
com a operação de multiplicação.