Cada item abaixo apresenta um conjunto S sobre o qual definimos uma operação e um subconjunto X do conjunto dado. Em cada caso, verifique se X é uma parte fechada de S em relação à operação dada.
S=Z, *=times e X=x in Z mid mdc(x, 7)=1

Passo 1

O enunciado define S=Z com a operação de multiplicação *, e o subconjunto
X = ,xinZmid gcd(x,7)=1
Queremos verificar se, para quaisquer a,bin X, o produto a*b também pertence a X.

Passo 2

A condição de parte fechada exige que, sempre que ain X e bin X, tenha-se
a*b ;in; X,
isto é, gcd(a b,7)=1.

Passo 3

Como a,bin X temos gcd(a,7)=1 e gcd(b,7)=1. O número 7 é primo, logo, se 7 divides a b, então 7 deve dividir a ou b. Mas isso contradiz gcd(a,7)=1 e gcd(b,7)=1. Assim, 7 não divide a b e
gcd(a b,7)=1,
ou seja, a bin X.

Passo 4

Como fechamos X sob a multiplicação, concluímos que X é parte fechada de S.

Resposta

Sim, X é fechada em Z com a operação de multiplicação.

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