Cada item abaixo apresenta um conjunto S sobre o qual definimos uma operação e um subconjunto X do conjunto dado. Em cada caso, verifique se X é uma parte fechada de S em relação à operação dada.
S=R, *=+ e X=x in R mid x é irracional é

Passo 1

O enunciado dá S=R com a operação + e o subconjunto
X = xinRmid x é irracional é
O que precisamos verificar é se, para todo x,yin X, o resultado da operação x+y permanece em X. Em outras palavras, checar se X é fechado sob adição.

Passo 2

Lembrando a definição de conjunto fechado sob uma operação binária: um subconjunto Xsubseteq S é fechado se, sempre que xin X e yin X, temos
x * y ;in; X
No nosso caso, substituir * por +.

Passo 3

Para ver se isso falha, basta encontrar um contraexemplo. Tomemos
x = raiz2 e y = 2 - raiz2
Ambos são números irracionais, logo xin X e yin X. Mas
x + y = raiz2 + (2 - raiz2) = 2,
e 2 é racional, isto é, 2notin X.

Passo 4

Como existe pelo menos um par (x,y)in Xtimes X tal que x+ynotin X, concluímos que X não é fechado sob adição em R.

Resposta

X não é parte fechada de S em relação à operação dada.

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