Cada item abaixo apresenta um conjunto
sobre o qual definimos uma operação e um subconjunto
do conjunto dado. Em cada caso, verifique se
é uma parte fechada de
em relação à operação dada.
Passo 1
O enunciado dá
com a operação
e o subconjunto
O que precisamos verificar é se, para todo
, o resultado da operação
permanece em
. Em outras palavras, checar se
é fechado sob adição.
Passo 2
Lembrando a definição de conjunto fechado sob uma operação binária: um subconjunto
é fechado se, sempre que
e
, temos
No nosso caso, substituir
por
.
Passo 3
Para ver se isso falha, basta encontrar um contraexemplo. Tomemos
Ambos são números irracionais, logo
e
. Mas
e
é racional, isto é,
.
Passo 4
Como existe pelo menos um par
tal que
, concluímos que
não é fechado sob adição em
.