Cada item abaixo apresenta um conjunto
sobre o qual definimos uma operação e um subconjunto
do conjunto dado. Em cada caso, verifique se
é uma parte fechada de
em relação à operação dada.
Passo 1
O enunciado dá
com a operação de multiplicação e define
Queremos verificar se, para todo
, o produto
também pertence a
. Isso é o que significa
ser fechada em relação a
.
Passo 2
Por definição,
é fechada sob multiplicação se e somente se
Em outras palavras, o produto de quaisquer dois números irracionais deve ser irracional.
Passo 3
Basta encontrar um contraexemplo. Tomamos
e também
, mas
e
não é irracional (é racional), logo
. Portanto a condição de fechamento falha.