Cada item abaixo apresenta um conjunto S sobre o qual definimos uma operação e um subconjunto X do conjunto dado. Em cada caso, verifique se X é uma parte fechada de S em relação à operação dada.
S=R, *=times e X=x in R mid x é irracional é

Passo 1

O enunciado dá S=R com a operação de multiplicação e define
X = xinRmid x é irracional é
Queremos verificar se, para todo x,yin X, o produto x*y=xcdot y também pertence a X. Isso é o que significa X ser fechada em relação a times.

Passo 2

Por definição, X é fechada sob multiplicação se e somente se
forall,x,yin X:;xcdot yin X
Em outras palavras, o produto de quaisquer dois números irracionais deve ser irracional.

Passo 3

Basta encontrar um contraexemplo. Tomamos
raiz2in X e também raiz2in X, mas
raiz2timesraiz2=2,
e 2 não é irracional (é racional), logo 2notin X. Portanto a condição de fechamento falha.

Resposta

X não é fechada sob multiplicação.

Exercícios relacionados