Cada item abaixo apresenta um conjunto S sobre o qual definimos uma operação e um subconjunto X do conjunto dado. Em cada caso, verifique se X é uma parte fechada de S em relação à operação dada.
S=M2 times 2(Z), *=+ e X=(lla & 0 0 & b) rvert, a, b in Z

Passo 1

O enunciado dá o conjunto
S = M2times 2(Z)
com a operação soma de matrizes, e o subconjunto
X = la & 0 0 & b,m|,a,binZr
Queremos verificar se X é fechada em S sob a soma.

Passo 2

Lembrando a definição de fechamento: X é fechada sob a soma se, sempre que
,Ain X e Bin X, tivermos
,A + Bin X

Passo 3

Tomemos duas matrizes genéricas em X:
A = a & 0 0 & b
B = c & 0 0 & d
com a,b,c,dinZ. A soma delas é
A + B = a & 0 0 & b + c & 0 0 & d = a+c & 0 0 & b+d
Como a+c e b+d continuam sendo inteiros, concluímos que
A+B tem a forma de uma matriz diagonal com entradas em Z, ou seja, A+Bin X.

Resposta

Sim. X é uma parte fechada de S em relação à soma de matrizes.

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