Cada item abaixo apresenta um conjunto sobre o qual definimos uma operação e um subconjunto do conjunto dado. Em cada caso, verifique se é uma parte fechada de em relação à operação dada.
Passo 1
O enunciado dá o conjunto
S = M2times 2(Z)
com a operação soma de matrizes, e o subconjunto
X = la & 0 0 & b,m|,a,binZr
Queremos verificar se X é fechada em S sob a soma.
Passo 2
Lembrando a definição de fechamento: X é fechada sob a soma se, sempre que ,Ain X e Bin X, tivermos ,A + Bin X
Passo 3
Tomemos duas matrizes genéricas em X:
A = a & 0 0 & b
B = c & 0 0 & d
com a,b,c,dinZ. A soma delas é
A + B = a & 0 0 & b + c & 0 0 & d = a+c & 0 0 & b+d
Como a+c e b+d continuam sendo inteiros, concluímos que A+B tem a forma de uma matriz diagonal com entradas em Z, ou seja, A+Bin X.
Resposta
Sim. X é uma parte fechada de S em relação à soma de matrizes.