Cada item abaixo apresenta um conjunto S sobre o qual definimos uma operação e um subconjunto X do conjunto dado. Em cada caso, verifique se X é uma parte fechada de S em relação à operação dada.
S=M2 times 2(Q), *=times e X=(ll0 & a b & 0) rvert, a, b in Q

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o subconjunto
X = 0 & a b & 0mid a,binQ
é fechado em
S = M2times2(Q)
quando a operação é a multiplicação usual de matrizes. Ou seja, dado A,Bin X, será que Acdot B também pertence a X?

Passo 2

Escolhemos matrizes genéricas em X. Sejam
A = 0 & a b & 0, B = 0 & c d & 0,
com a,b,c,dinQ.

Passo 3

Calculamos o produto Acdot B:
Acdot B = 0 & a b & 0 0 & c d & 0 = 0cdot0 + a,d & 0cdot c + acdot0 bcdot0 + 0cdot d & b,c + 0cdot0 = a,d & 0 0 & b,c

Passo 4

Para que Acdot B pertença a X, ele deveria ter zeros na diagonal principal e entradas quaisquer fora dela. Mas
Acdot B = a,d & 00 & b,c
só está em X se a,d=0 e b,c=0. Em geral isso não ocorre para a,b,c,d arbitrários.

Passo 5

Damos um contraexemplo simples: escolha a=b=c=d=1. Então
A = B = 0 & 11 & 0, Acdot B = 1 & 00 & 1 notin X
Logo X não é fechado sob a multiplicação.

Resposta

X não é uma parte fechada de S em relação à multiplicação de matrizes.

Exercícios relacionados