Cada item abaixo apresenta um conjunto
sobre o qual definimos uma operação e um subconjunto
do conjunto dado. Em cada caso, verifique se
é uma parte fechada de
em relação à operação dada.
Passo 1
O enunciado nos dá o conjunto
com a operação binária sendo a soma de matrizes
, e o subconjunto
O conteúdo aqui é fechamento de um subconjunto em relação a uma operação: devemos verificar se, para quaisquer
, vale que
.
Passo 2
Por definição,
é fechado sob
se e somente se
ou seja, a soma de duas matrizes invertíveis deve ser sempre invertível.
Passo 3
Basta encontrar um contraexemplo. Tomemos qualquer matriz invertível
. Então
e
(pois
existe). Porém
e a matriz zero
não é invertível (tem determinante zero). Logo
.
Passo 4
Como existe pelo menos um par
cuja soma não está em
, concluímos que
não é fechado sob a operação de soma.