Cada item abaixo apresenta um conjunto S sobre o qual definimos uma operação e um subconjunto X do conjunto dado. Em cada caso, verifique se X é uma parte fechada de S em relação à operação dada.
S=Mn times n(R), *=+ e X=A in Mn times n(R) mid A é inversível éí

Passo 1

O enunciado nos dá o conjunto
S = Mntimes n(R),
com a operação binária sendo a soma de matrizes +, e o subconjunto
X = Ain Mntimes n(R) mid A é invertível éí
O conteúdo aqui é fechamento de um subconjunto em relação a uma operação: devemos verificar se, para quaisquer A,Bin X, vale que A+Bin X.

Passo 2

Por definição, X é fechado sob + se e somente se
forall,A,Bin X, A+Bin X,
ou seja, a soma de duas matrizes invertíveis deve ser sempre invertível.

Passo 3

Basta encontrar um contraexemplo. Tomemos qualquer matriz invertível A. Então Ain X e -Ain X (pois (-A)^-1=-A^-1 existe). Porém
A + (-A) = 0,
e a matriz zero 0 não é invertível (tem determinante zero). Logo A+(-A)notin X.

Passo 4

Como existe pelo menos um par A,Bin X cuja soma não está em X, concluímos que X não é fechado sob a operação de soma.

Resposta

X não é uma parte fechada de S em relação à soma.

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