Cada item abaixo apresenta um conjunto S sobre o qual definimos uma operação e um subconjunto X do conjunto dado. Em cada caso, verifique se X é uma parte fechada de S em relação à operação dada.
S=Mn times n(R), *=times e X=A in Mn times n(R) mid A é inversível éí

Passo 1

O enunciado define o conjunto
S = Mntimes n(R)
com a operação * sendo a multiplicação usual de matrizes, e o subconjunto
X = Ain Mntimes n(R) mid A é invertível éí
Queremos verificar se X é fechado em S sob essa operação, ou seja, se para todo A,Bin X vale A*Bin X.

Passo 2

Lembramos que uma matriz A é invertível se existe A^-1 tal que
A,A^-1 = A^-1A = In,
onde In é a matriz identidade de ordem n. Também sabemos do cálculo de matrizes que o produto de matrizes invertíveis é invertível e sua inversa é dada por
(AB)^-1 = B^-1A^-1

Passo 3

Se A e B estão em X, então A e B são invertíveis, ou seja, existem A^-1 e B^-1. Pelo fato citado,
(AB)^-1 = B^-1A^-1
é bem definida, logo AB também é invertível. Portanto ABin X, mostrando a propriedade de fechamento.

Passo 4

Adicionalmente, a matriz identidade In pertence a X pois é invertível (sua própria inversa é In), mas isso serve mais para mostrar que X contém a identidade do monóide (S,*). O essencial para fechamento já está garantido no passo anterior.

Resposta

O conjunto X é fechado em S relativamente à multiplicação de matrizes, pois o produto de matrizes invertíveis é sempre invertível.

Exercícios relacionados