Cada item abaixo apresenta um conjunto
sobre o qual definimos uma operação e um subconjunto
do conjunto dado. Em cada caso, verifique se
é uma parte fechada de
em relação à operação dada.
Passo 1
O enunciado define o conjunto
com a operação
sendo a multiplicação usual de matrizes, e o subconjunto
Queremos verificar se
é fechado em
sob essa operação, ou seja, se para todo
vale
.
Passo 2
Lembramos que uma matriz
é invertível se existe
tal que
onde
é a matriz identidade de ordem
. Também sabemos do cálculo de matrizes que o produto de matrizes invertíveis é invertível e sua inversa é dada por
Passo 3
Se
e
estão em
, então
e
são invertíveis, ou seja, existem
e
. Pelo fato citado,
é bem definida, logo
também é invertível. Portanto
, mostrando a propriedade de fechamento.
Passo 4
Adicionalmente, a matriz identidade
pertence a
pois é invertível (sua própria inversa é
), mas isso serve mais para mostrar que
contém a identidade do monóide
. O essencial para fechamento já está garantido no passo anterior.
Resposta
O conjunto
é fechado em
relativamente à multiplicação de matrizes, pois o produto de matrizes invertíveis é sempre invertível.