Cada item abaixo apresenta um conjunto
sobre o qual definimos uma operação e um subconjunto
do conjunto dado. Em cada caso, verifique se
é uma parte fechada de
em relação à operação dada.
Passo 1
O enunciado define
como o conjunto de todas as funções de
em
, com a operação de composição
, e o subconjunto
Precisamos verificar se
é fechado em
sob a operação de composição, isto é, se dados
, então
.
Passo 2
Para mostrar que
é bijetora, basta provar que ela é injetiva e sobrejetiva, pois bijeção
injeção
sobrejeção.
Passo 3
Prova da injetividade de
:
Sejam tais que
Sejam
Isso significa
Como
é injetora, segue
. E como
também é injetora, conclui-se
. Logo,
é injetiva.
Passo 4
Prova da sobrejetividade de
:
Dado um valor arbitrário , como
é sobrejetora, existe
tal que
Dado um valor arbitrário
Como
é sobrejetora, existe
com
Então
mostrando que
atinge todo
. Portanto,
é sobrejetiva.
Passo 5
Como
é injetiva e sobrejetiva, ela é bijetora. Logo, sempre que
temos
. Isso prova que
é fechado sob composição em
.
Resposta
Sim,
é uma parte fechada de
em relação à operação de composição, pois a composição de duas funções bijetoras é sempre bijetora.