Cada item abaixo apresenta um conjunto S sobre o qual definimos uma operação e um subconjunto X do conjunto dado. Em cada caso, verifique se X é uma parte fechada de S em relação à operação dada.
S= Conjunto das funções de R em R, *=circ (a composição de funções reais) e X= Conjunto das funções bijetoras de R em Rçõçãçõçõ

Passo 1

O enunciado define S como o conjunto de todas as funções de R em R, com a operação de composição ast=circ, e o subconjunto
X = todas as funções bijetoras de R em R çõ
Precisamos verificar se X é fechado em S sob a operação de composição, isto é, se dados f,gin X, então fcirc gin X.

Passo 2

Para mostrar que fcirc g é bijetora, basta provar que ela é injetiva e sobrejetiva, pois bijeção = injeção + sobrejeção.

Passo 3

Prova da injetividade de fcirc g:
Sejam x1,x2inR tais que
(fcirc g)(x1) = (fcirc g)(x2)
Isso significa
fl(g(x1)r) = fl(g(x2)r)
Como f é injetora, segue g(x1)=g(x2). E como g também é injetora, conclui-se x1=x2. Logo, fcirc g é injetiva.

Passo 4

Prova da sobrejetividade de fcirc g:
Dado um valor arbitrário yinR, como f é sobrejetora, existe uinR tal que
f(u)=y
Como g é sobrejetora, existe xinR com
g(x)=u
Então
(fcirc g)(x)=fl(g(x)r)=f(u)=y,
mostrando que fcirc g atinge todo yinR. Portanto, fcirc g é sobrejetiva.

Passo 5

Como fcirc g é injetiva e sobrejetiva, ela é bijetora. Logo, sempre que f,gin X temos fcirc gin X. Isso prova que X é fechado sob composição em S.

Resposta

Sim, X é uma parte fechada de S em relação à operação de composição, pois a composição de duas funções bijetoras é sempre bijetora.

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