Para cada item abaixo, calcule a derivada direcional da função na direção do vetor a partir do ponto dado. Obs. verifique se o vetor dado é unitário.
a) f(x, y)=x^2+x y, vetor u=i+j, ponto P0(1,2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a derivada direcional da função f(x, y) = x^2 + x cdot y na direção do vetor u = i + j no ponto P0(1,2) . Isso envolve conceitos de cálculo multivariável, especificamente como encontrar a taxa de variação da função em uma direção específica. Para resolver, vamos precisar verificar se o vetor u é unitário, calcular o gradiente da função e então usar esses dados para encontrar a derivada direcional.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o vetor u = i + j é um vetor unitário. Um vetor é unitário se o seu comprimento (ou norma) for igual a 1. A norma de u é dada por:
| u | = raiz1^2 + 1^2 = raiz2
Como raiz2 neq 1 , o vetor u não é unitário. Para tornar u unitário, vamos dividi-lo pela sua norma:
uunit = 1raiz2 i + 1raiz2 j = ( 1raiz2, 1raiz2 )

Passo 3

Agora, precisamos calcular o gradiente da função f(x, y) = x^2 + x cdot y . O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a x e y :
nabla f(x, y) = ( partial fpartial x, partial fpartial y )
Calculando as derivadas parciais:
partial fpartial x = 2x + y
partial fpartial y = x
Então, o gradiente é:
nabla f(x, y) = (2x + y, x)

Passo 4

Agora, avaliamos o gradiente no ponto P0(1,2) :
nabla f(1, 2) = (2(1) + 2, 1) = (4, 1)

Passo 5

A derivada direcional Du f é o produto escalar do gradiente da função pelo vetor unitário na direção de u :
Du f = nabla f(1, 2) cdot uunit = (4, 1) cdot ( 1raiz2, 1raiz2 )
Calculando o produto escalar:
Du f = 4 cdot 1raiz2 + 1 cdot 1raiz2 = 4 + 1raiz2 = 5raiz2
Podemos racionalizar o denominador multiplicando numerador e denominador por raiz2 :
Du f = 5raiz22

Resposta

A derivada direcional da função na direção do vetor u no ponto P0(1,2) é 5raiz22 .

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