Para cada item abaixo, calcule a derivada direcional da função na direção do vetor a partir do ponto dado. Obs. verifique se o vetor dado é unitário.
a)
vetor
ponto
.
a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a derivada direcional da função
na direção do vetor
no ponto
. Isso envolve conceitos de cálculo multivariável, especificamente como encontrar a taxa de variação da função em uma direção específica. Para resolver, vamos precisar verificar se o vetor
é unitário, calcular o gradiente da função e então usar esses dados para encontrar a derivada direcional.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o vetor
é um vetor unitário. Um vetor é unitário se o seu comprimento (ou norma) for igual a 1. A norma de
é dada por:
Como
, o vetor
não é unitário. Para tornar
unitário, vamos dividi-lo pela sua norma:
Passo 3
Agora, precisamos calcular o gradiente da função
. O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a
e
:
Calculando as derivadas parciais:
Então, o gradiente é:
Passo 4
Agora, avaliamos o gradiente no ponto
:
Passo 5
A derivada direcional
é o produto escalar do gradiente da função pelo vetor unitário na direção de
:
Calculando o produto escalar:
Podemos racionalizar o denominador multiplicando numerador e denominador por
:
Resposta
A derivada direcional da função na direção do vetor
no ponto
é
.