Para cada item abaixo, considere a função composta
e calcule sua derivada df/dt usando a regra da cadeia.
c)
.
c)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função composta
, onde
. As funções
,
e
são dadas por:
O nosso objetivo é encontrar a derivada de
em relação a
, ou seja,
, usando a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a regra da cadeia. Ela é usada para derivar funções compostas, ou seja, funções que dependem de outras funções. No nosso caso,
depende de
,
e
, que por sua vez dependem de
.
A regra da cadeia para uma função de várias variáveis diz que:
Vamos aplicar isso ao nosso caso.
Passo 3
Primeiro, calculamos as derivadas parciais de
em relação a cada uma das variáveis:
Passo 4
Agora, vamos calcular as derivadas de
,
e
em relação a
:
Passo 5
Com todas essas derivadas calculadas, substituímos na fórmula da regra da cadeia:
Passo 6
Agora, substituímos
e
:
Simplificando:
Passo 7
Vamos simplificar mais essa expressão usando a identidade trigonométrica
. Assim:
Podemos reescrever como:
Resposta
A derivada de
em relação a
é: