Para cada item abaixo, considere a função composta f(t)=f(x(t), y(t)) e calcule sua derivada df/dt usando a regra da cadeia.
c) f(x, y, z)=x y+z, x(t)=cos (t), y(t)=sen(t), z(t)=t.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função composta f(t) = f(x(t), y(t), z(t)) , onde f(x, y, z) = x cdot y + z . As funções x(t) , y(t) e z(t) são dadas por:
x(t) = cos(t), y(t) = sin(t), z(t) = t
O nosso objetivo é encontrar a derivada de f em relação a t , ou seja, dfdt , usando a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a regra da cadeia. Ela é usada para derivar funções compostas, ou seja, funções que dependem de outras funções. No nosso caso, f depende de x(t) , y(t) e z(t) , que por sua vez dependem de t .
A regra da cadeia para uma função de várias variáveis diz que:
dfdt = partial fpartial x cdot dxdt + partial fpartial y cdot dydt + partial fpartial z cdot dzdt
Vamos aplicar isso ao nosso caso.

Passo 3

Primeiro, calculamos as derivadas parciais de f em relação a cada uma das variáveis:
partial fpartial x = y
partial fpartial y = x
partial fpartial z = 1

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas de x(t) , y(t) e z(t) em relação a t :
dxdt = ddt cos(t) = -sin(t)
dydt = ddt sin(t) = cos(t)
dzdt = ddt t = 1

Passo 5

Com todas essas derivadas calculadas, substituímos na fórmula da regra da cadeia:
dfdt = ( y ) cdot ( -sin(t) ) + ( x ) cdot ( cos(t) ) + ( 1 ) cdot ( 1 )

Passo 6

Agora, substituímos x(t) = cos(t) e y(t) = sin(t) :
dfdt = sin(t) cdot (-sin(t)) + cos(t) cdot cos(t) + 1
Simplificando:
dfdt = -sin^2(t) + cos^2(t) + 1

Passo 7

Vamos simplificar mais essa expressão usando a identidade trigonométrica sin^2(t) + cos^2(t) = 1 . Assim:
dfdt = -sin^2(t) + cos^2(t) + 1 = (cos^2(t) - sin^2(t)) + 1
Podemos reescrever como:
dfdt = cos(2t) + 1

Resposta

A derivada de f em relação a t é:
dfdt = cos(2t) + 1

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