Seja o campo F(x, y, z)=(-2 x+sin (z^3), 4 y, x^3+6 z) e a superfície aberta
mathscrS: y^2=x^2+z^2,(0 <= y <= 3),
orientada de modo que o seu vetor normal exterior tenha segunda componente negativa. Determine o fluxo de F através de mathscrS:
Utilizando o Teorema da divergência de Gauss.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de cálculo vetorial, mais especificamente sobre o Teorema da Divergência de Gauss. A gente precisa calcular o fluxo do campo vetorial F(x, y, z) = (-2x + sin (z^3), 4y, x^3 + 6z) através da superfície mathscrS definida por y^2 = x^2 + z^2 com 0 <= y <= 3. Para resolver isso, vamos usar a ideia de transformar o cálculo de fluxo em uma integral de divergência sobre um volume fechado.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o Teorema da Divergência de Gauss. Esse teorema nos diz que o fluxo de um campo vetorial F através de uma superfície fechada mathscrS é igual à integral da divergência de F sobre o volume V limitado por mathscrS. Matematicamente, isso é escrito como:
integral duplamathscrS F cdot n , dS = integral triplaV nabla cdot F , dV
No nosso caso, a superfície mathscrS não é fechada, então vamos precisar fechar ela adicionando uma outra superfície. Imagine que mathscrS é uma espécie de cone aberto na base y = 0 e no topo y = 3. Para fechar, vamos adicionar a base no topo, ou seja, a superfície plana onde y = 3.

Passo 3

Vamos calcular a divergência do campo F. A divergência de F = (Fx, Fy, Fz) é dada por:
nabla cdot F = partial Fxpartial x + partial Fypartial y + partial Fzpartial z
Calculando cada derivada:
partial Fxpartial x = partialpartial x (-2x + sin(z^3)) = -2
partial Fypartial y = partialpartial y (4y) = 4
partial Fzpartial z = partialpartial z (x^3 + 6z) = 6
Então, a divergência é:
nabla cdot F = -2 + 4 + 6 = 8

Passo 4

Agora, usando o Teorema da Divergência, o fluxo através da superfície fechada será:
integral duplamathscrSfechada F cdot n , dS = integral triplaV 8 , dV = 8 cdot Volume(V)
Precisamos encontrar o volume V limitado pela superfície mathscrS e pela base y = 3. A superfície mathscrS é um cone com a equação y^2 = x^2 + z^2, que em coordenadas cilíndricas fica y = r, onde r = raizx^2 + z^2.
O volume do cone até y = 3 pode ser calculado usando coordenadas cilíndricas:
V = integral0^3 integral0^y integral0^2pi r , dtheta , dr , dy
Resolvendo a integral:
V = integral0^3 integral0^y ( integral0^2pi dtheta ) r , dr , dy = integral0^3 integral0^y 2pi r , dr , dy
Integrando em r:
V = integral0^3 2pi [ r^22 ]0^y dy = integral0^3 2pi cdot y^22 , dy = integral0^3 pi y^2 , dy
Integrando em y:
V = pi [ y^33 ]0^3 = pi cdot 273 = 9pi
Então, o fluxo total através da superfície fechada é:
8 cdot 9pi = 72pi

Resposta

O fluxo de F através de mathscrS é 72pi.

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