Seja o campo
e a superfície aberta
orientada de modo que o seu vetor normal exterior tenha segunda componente negativa. Determine o fluxo de
através de
:
Utilizando o Teorema da divergência de Gauss.
Utilizando o Teorema da divergência de Gauss.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de cálculo vetorial, mais especificamente sobre o Teorema da Divergência de Gauss. A gente precisa calcular o fluxo do campo vetorial
através da superfície
definida por
com
. Para resolver isso, vamos usar a ideia de transformar o cálculo de fluxo em uma integral de divergência sobre um volume fechado.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o Teorema da Divergência de Gauss. Esse teorema nos diz que o fluxo de um campo vetorial
através de uma superfície fechada
é igual à integral da divergência de
sobre o volume
limitado por
. Matematicamente, isso é escrito como:
No nosso caso, a superfície
não é fechada, então vamos precisar fechar ela adicionando uma outra superfície. Imagine que
é uma espécie de cone aberto na base
e no topo
. Para fechar, vamos adicionar a base no topo, ou seja, a superfície plana onde
.
Passo 3
Vamos calcular a divergência do campo
. A divergência de
é dada por:
Calculando cada derivada:
Então, a divergência é:
Passo 4
Agora, usando o Teorema da Divergência, o fluxo através da superfície fechada será:
Precisamos encontrar o volume
limitado pela superfície
e pela base
. A superfície
é um cone com a equação
, que em coordenadas cilíndricas fica
, onde
.
O volume do cone até
pode ser calculado usando coordenadas cilíndricas:
Resolvendo a integral:
Integrando em
:
Integrando em
:
Então, o fluxo total através da superfície fechada é:
Resposta
O fluxo de
através de
é
.