Para cada item abaixo, calcule o gradiente da função.
a) f(x, y)=x^3-9 x y+y^3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função f(x, y) = x^3 - 9xy + y^3 e precisa calcular o gradiente dela. O gradiente é basicamente um vetor que mostra a direção em que a função cresce mais rápido. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função em relação a x e a y .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o gradiente. O gradiente de uma função de duas variáveis, f(x, y) , é um vetor que reúne as derivadas parciais dessa função em relação a cada uma das variáveis. Ou seja,
nabla f(x, y) = ( partial fpartial x, partial fpartial y )
Isso significa que precisamos calcular a derivada de f em relação a x e a derivada em relação a y .

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de f em relação a x . Isso significa que tratamos y como uma constante e diferenciamos apenas em relação a x :
partial fpartial x = partialpartial x (x^3 - 9xy + y^3) = 3x^2 - 9y

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de f em relação a y . Aqui, tratamos x como uma constante e diferenciamos em relação a y :
partial fpartial y = partialpartial y (x^3 - 9xy + y^3) = -9x + 3y^2

Resposta

Então, juntando as duas derivadas parciais que calculamos, o gradiente da função f(x, y) = x^3 - 9xy + y^3 é:
nabla f(x, y) = ( 3x^2 - 9y, -9x + 3y^2 )

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