Para cada item abaixo, determine a direção de máxima variação e uma direção de variação nula para a função a partir do ponto dado.
a)
ponto
.
a)
Passo 1
O enunciado pede a direção de máxima variação e uma direção de variação nula de
no ponto
.
O conteúdo necessário é o conceito de gradiente e derivada direcional: a derivada direcional de em
na direção do vetor unitário
é
O conteúdo necessário é o conceito de gradiente e derivada direcional: a derivada direcional de
e isso atinge o valor máximo quando
aponta na direção de
, enquanto qualquer
ortogonal a
dá variação nula.
Passo 2
Calculemos o gradiente de
:
Em particular, no ponto
, temos
Passo 3
A direção de máxima variação é a direção de
. Normalizando esse vetor, obtemos o vetor unitário
Passo 4
Uma direção de variação nula é qualquer vetor unitário orthogonal a
. Um exemplo simples é
pois
.
Resposta
Direção de máxima variação:
Direção de variação nula (exemplo):