Para cada item abaixo, determine a direção de máxima variação e uma direção de variação nula para a função a partir do ponto dado.
a) f(x, y)=x^2+y^2, ponto P0(1,1).

Passo 1

O enunciado pede a direção de máxima variação e uma direção de variação nula de
f(x,y)=x^2+y^2 no ponto P0=(1,1).
O conteúdo necessário é o conceito de gradiente e derivada direcional: a derivada direcional de f em P0 na direção do vetor unitário u é
Duf(P0)=nabla f(P0)cdot u,
e isso atinge o valor máximo quando u aponta na direção de nabla f(P0), enquanto qualquer u ortogonal a nabla f(P0) dá variação nula.

Passo 2

Calculemos o gradiente de f:
nabla f(x,y) = l(partial f/partial x,;partial f/partial yr) = (2x,2y)
Em particular, no ponto P0=(1,1), temos
nabla f(1,1) = (2cdot1,,2cdot1) = (2,2)

Passo 3

A direção de máxima variação é a direção de nabla f(1,1). Normalizando esse vetor, obtemos o vetor unitário
umax =nabla f(1,1)|nabla f(1,1)| =(2,2)raiz2^2+2^2 =l(tfrac1raiz2,,tfrac1raiz2r)

Passo 4

Uma direção de variação nula é qualquer vetor unitário orthogonal a nabla f(1,1)=(2,2). Um exemplo simples é
u0 =l(tfrac1raiz2,,-tfrac1raiz2r),
pois (2,2)cdot(1/raiz2,-1/raiz2)=0.

Resposta

Direção de máxima variação:
l(tfrac1raiz2,,tfrac1raiz2r)
Direção de variação nula (exemplo):
l(tfrac1raiz2,,-tfrac1raiz2r)

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