Em cada item abaixo, calcule a derivada da função dada.
f(x)=e^-x arctg e^xtg x

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=e^-x,arctanl(e^xr)tan(x)
Aqui vamos usar a regra do quociente, onde definimos
u(x)=e^-x,arctanl(e^xr), v(x)=tan(x)
Precisamos de u'(x) (regra do produto e cadeia) e de v'(x) (derivada da tangente).

Passo 2

Calcular u'(x). Seja
a(x)=e^-x, b(x)=arctanl(e^xr)
Então
a'(x)=-e^-x, b'(x)=11+e^2xcdot e^x
Pela regra do produto,
u'(x)=a'(x),b(x)+a(x),b'(x) =-e^-x,arctanl(e^xr) +e^-x,e^x1+e^2x =-e^-x,arctanl(e^xr)+11+e^2x

Passo 3

Calcular v'(x). Como
v(x)=tan(x),
temos
v'(x)=sec^2(x)

Passo 4

Aplicar a regra do quociente:
f'(x) =u'(x),v(x)-u(x),v'(x)[v(x)]^2 =l(-e^-xarctan(e^x)+tfrac11+e^2xr)tan(x) -;e^-xarctan(e^x),sec^2(x)tan^2(x)

Resposta

f'(x) =l(-e^-xarctan(e^x)+11+e^2xr)tan(x) -e^-xarctan(e^x),sec^2(x)tan^2(x)

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