Nos problemas a seguir, classifique a equação como separável, linear, exata ou nenhuma delas. Observe que algumas equações podem ter mais de uma classificação.
raiz-2 y-y^2 d x+(3+2 x-x^2) d y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial na forma
raiz-2y - y^2;dx ;+;l(3 + 2x - x^2r);dy = 0
O conteúdo é classificar a equação como separável, linear, exata ou nenhuma. Para isso vamos, em sequência, verificar cada uma dessas propriedades.

Passo 2

Verificação de separabilidade. Num formato separável temos
M(y),dx + N(x),dy = 0
ou equivalentemente
dydx = -M(y)N(x)
Aqui M(y)=raiz-2y - y^2 depende só de y e N(x)=3+2x - x^2 depende só de x. Logo
dydx = -raiz-2y - y^23 + 2x - x^2,
que é da forma f(y),g(x). Portanto a equação é separável.

Passo 3

Verificação de linearidade. Uma EDO em y linear em y deve ter formato
dydx + P(x),y = Q(x)
Aqui
dydx = -raiz-2y - y^23 + 2x - x^2
não é da forma ay + b em y. Logo não é linear.

Passo 4

Verificação de exatidão. Calculamos
M(x,y)=raiz-2y - y^2, N(x,y)=3+2x - x^2
Então
partial Mpartial y = 12raiz-2y - y^2cdot(-2 - 2y) = -y+1raiz-y(y+2),
enquanto
partial Npartial x = 2 - 2x
Como partial M/partial y neq partial N/partial x, não é exata.

Resposta

Separável.

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